Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(－2，6)，

與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E，連接AE、AC，求證：是等腰直角三角形;

(3)連接AD交BC于點(diǎn)F，試問(wèn)當(dāng)時(shí)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在， 請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)A(-4,0);(2)證明見(jiàn)解析；（3）存在,（-2，6）或.

【解析】試題分析: （1）將點(diǎn)C（-2，6）代入解析式求出m的值，令y=0，求出A的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出AE、CE的長(zhǎng)度，再根據(jù)股定理的逆定理判斷出△AEC是等腰直角三角形；

（3）求出AD、BC的解析式組成方程組，解出F的坐標(biāo)，根據(jù)三角形相似求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析:

（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(－2，6)

∴

∴

∴

∴當(dāng)，

,

（2）證明：設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，

由題意得： ，解得： .

∴直線BC的解析式為y=－2x+2．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）.

∴ .

∴AE=CE

又∵

∴

∴△AEC為等腰直角三角形

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與相似。理由如下：

設(shè)直線AD的解析式為y=k1x+b1，則 ，解得： .

∴直線AD的解析式為y=x+4。

聯(lián)立直線AD與直線BC的函數(shù)解析式可得： ，解得： .

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ , ）。

則 ,

。

又∵AB=5， ，

∴.

∴.

又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與相似。

又∵拋物線關(guān)于直線對(duì)稱

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)重合時(shí)，以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形也與相似。

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，6）或（-時(shí)，以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與相似。