Question

【題目】我們定義：如圖1，在中，把AB繞點按順時針方向旋轉得到，把AC繞點按逆時針方向旋轉得到，連接.當時，我們稱是的“旋補三角形”，邊上的中線AD叫做的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．

特例感知

（1）在圖2、圖3中，是△ABC的“旋補三角形”，是的“旋補中線”．

①如圖2，當為等邊三角形時，AD與的數量關系為AD= ；

②如圖3，當時，則長為 ．

猜想論證

(2)在圖1中，當為任意三角形時，猜想與BC的數量關系，并給予證明．

拓展應用

(3)如圖4，在四邊形中，.在四邊形內部是否存在點，使是的“旋補三角形”?若存在，求的“旋補中線”長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②4 ；（2），證明見解析；（3）存在，

【解析】

（1）①首先證明是含有30°的直角三角形，可得即可解決問題；

②首先證明，根據直角三角形斜邊上的中線的性質即可解決問題；

（2）如圖所示作出輔助線，首先證明四邊形是平行四邊形，再證明，即可解決問題；

（3）如圖所示作出輔助線，證明PA=PD，PB=PC，再證明∠APD+∠BPC=180°即可．

解：（1）①在圖2中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=，

∵，

∴AD⊥，

∵∠BAC=60°，∠BAC+，

∴，

∴，

∴，

故答案為：；

②在圖3中，

∵∠BAC=90°，∠BAC+，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵

∴，

故答案為：4；

（2）結論為：

理由：如下圖，延長AD到點M，使得AD=DM，連接，，

∵，AD=DM，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵∠BAC+，

∴，

∵

∴（SAS）

∴BC=AM

∴；

（3）存在，

理由：如圖4中，延長AD交BC的延長線于點M，作BE⊥AD于點E，作線段BC的垂直平分線交BE于點P，交BC于點F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN，連接DF交PC于點O．

∵∠ADC=150°，

∴∠MDC=30°，

在Rt△DCM中，

∵，∠DCM=90°，∠MDC=30°，

∴CM=2，DM=4，∠M=60°，

在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，

∴EM=，

∴DE=EM-DM=3，

∵AD=6，

∴AE=DE，

∵BE⊥AD，

∴PA=PD，PB=PC，

在Rt△CDF中，∵CD=，CF=6，

∴，

∴∠CDF=60°=∠CPF，

∴△FCP≌△CFD，

∴CD=PF，

又∵CD∥PF

∴四邊形CDPF是矩形，

∴∠CDP=90°，

∴∠ADP=∠ADC-∠CDP=60°，

∴△ADP是等邊三角形，

∴∠ADP=60°，

∵∠BPF=∠CPF=60°，

∴∠BPC=120°，

∴∠APD+∠BPC=180°，

∴△PCD是△PAB的“旋補三角形”，

在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=，

PN=．