Question

【題目】如圖，□ ABCD中，E是AD邊上一點(diǎn)，AD=4，CD=3，ED=,∠A=45．點(diǎn)P，Q分別是BC，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠EPQ=45°．將 CPQ沿它的一條邊翻折，當(dāng)翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形時(shí)，線段BP的長(zhǎng)為________．

Answer 1

【答案】，3，

【解析】過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，連接BE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及已知條件，可證得△BEF是等腰直角三角形，求出BF、BE、的長(zhǎng)，再利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)合已知，證明∠2=∠1，∠EBP=∠C，利用相似三角形的判定，可證得△BPE∽△CQP，再分三種情況討論：①當(dāng)CQ=QP時(shí)，則BP=PE，可證得四邊形BPEF是矩形，可求出BP的長(zhǎng)；②當(dāng)CP=CQ時(shí)，則BP=BE=3；③當(dāng)CP=PQ時(shí)，則BE=PE=3，再根據(jù)△BPE是等腰直角三角形，利用勾股定理，可求出BP的長(zhǎng)，從而可得出答案.

如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，連接BE

∵平行四邊形ABCD

∴AD∥BC

∴∠BFE=∠FBP=90°

在Rt△ABF中，∠A=45°，AB=3

∴BF=AF=ABcos45°=3×=

∴EF=AD-AF-DE=4--=

∴EF=BF

∴∠FBE=∠EBP=45°=∠C

∠2+∠EFQ=∠1+∠C

∵∠EFQ=∠C=45°

∴∠2=∠1

∴△BPE∽△CQP

將 △ CPQ沿它的一條邊翻折，當(dāng)翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形時(shí)，分三種情況：

①當(dāng)CQ=QP時(shí)，則BP=PE

∴∠EBP=∠BEP=45°，則∠BPE=90°

∴四邊形BPEF是矩形

∴BP=EF=

②當(dāng)CP=CQ時(shí)，則BP=BE=3

③當(dāng)CP=PQ時(shí)，則BE=PE=3，∠BEP=90°

∴△BPE是等腰直角三角形

∴BP=.

故答案為：、3、