Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點坐標是（2，﹣1），且經過點A（5，8）

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設該拋物線與y軸相交于點B，與x軸相交于C、D兩點（點C在點D的左邊），試求點B、C、D的坐標；

（3）設點P是x軸任一點，連接AP、BP．試求當AP+BP取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣2）2﹣1（或y=x2﹣4x+3）；（2）B （0，3 ），C（1，0 ），D （3，0 ）；（3）點P的坐標為（，0）．

【解析】

試題

（1）由拋物線的頂點坐標為（2，1）可設其解析式為，代入點A（5，8）求出的值即可得到拋物線的解析式；

（2）在（1）中所求解析式中，由求得對應的的值；由解得對應的的值；即可得到點B、C、D的坐標；

（3）由題意：取點B關于軸的對稱點B′（0，﹣3），連接AB′交軸于點P，此時AP+BP的值最小，根據點A、B′的坐標求得直線AB′的解析式，即可求得點P的坐標.

試題解析：

（1）由題意可設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，

∵拋物線經過A（5，8），

∴8=a（5﹣2）2﹣1，解得：a=1

∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（2）在y=x2﹣4x+3中，當x=0時，y=3，

∴點B的坐標為： （0，3 ）

當y=0時，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴點C的坐標為：（1，0 ），點D的坐標為： （3，0 ）；

（3）取點B關于x軸的對稱點B′（0，﹣3），連接AB′交x軸于點P，此時AP+BP最小.

設直線AB′的解析式為y=kx+b過點A（5，8）和B′（0，﹣3），

∴ ，解得： ，

∴AB′的解析式為：，

∵在中，當時，解得：，

∴點P的坐標為.

點睛；（1）在已知拋物線的頂點坐標求其解析式時，一般設其解析式為“頂點式：”；（2）在已知直線上找一點，使其到已知直線同側兩點的距離之和最小的方法是：作出已知兩點中其中一個點關于已知直線的對稱點，并把這個點和兩個已知點中的另一個連接，所得線段與已知直線的交點即為所找的點.