Question

【題目】(1)如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探究圖中線段EF，BE，FD之間的數量關系．

小明同學探究的方法是：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，

他的結論是　 　（直接寫結論，不需證明）；

(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述結論是否仍然成立，并說明理由．

(3)如圖3，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，∠EBF=45°，直接寫出三角形DEF的周長．

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由見解析；（3）10.

【解析】

（1）如圖1，延長FD到G，使得DG=DC,先證△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，進一步根據題意得∠EAF=∠GAF，再證明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后運用線段的和差證明即可.

(2) 如圖2，延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，證得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再結合題意得到∠EAF=∠GAF，再證明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后運用線段的和差證明即可.

（3）如圖3，延長DC到點G，截取CG=AE，連接BG，先證△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，結合已知條件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再證明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周長即可.

解答：（1）解：如圖1，延長FD到G，使得DG=DC

在△ABE和△ADG中，

∵

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

∵，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

故答案為：EF=BE+DF．

（2）解：結論EF=BE+DF仍然成立；

理由：如圖2，延長FD到點G．使DG=BE．連結AG

在△ABE和△ADG中，

∵，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

∵，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

（3）解：如圖3，延長DC到點G，截取CG=AE，連接BG，

在△AEB與△CGB中，

∵

，

∴△AEB≌△CGB（SAS），

∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．

∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=45°，

∴∠CBF+∠CBG=45°．

在△EBF與△GBF中，

∵，

∴△EBF≌△GBF（SAS），

∴EF=GF，

∴△DEF的周長=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10．