Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6．點P從點A出發，沿折現AB—BC向終點C運動，在AB上以每秒5個單位長度的速度運動，在BC上以每秒3個單位長度的速度運動．點Q從點C出發，沿CA方向以每秒個單位長度的速度運動．點P、Q兩點同時出發，當點P停止時，點Q也隨之停止．設點P運動的時間為t秒．

（1）求線段AQ的長．（用含t的代數式表示）

（2）當PQ與△ABC的一邊平行時，求t的值

（3）如圖②，過點P作PE⊥AC于點E，以PE、QE為鄰邊作矩形PEQF，點D為AC的中點，連結DF．直接寫出DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1:2時t的值．

Answer 1

【答案】（1）AQ=8-t（0≤t≤4）；

（2）t=s或3s時，當PQ與△ABC的一邊平行；

（3）①S=；②當t=s或s時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2.

【解析】試題分析：（1）利用勾股定理先求出AC，根據AQ=AC-CQ即可解決問題；

（2）分兩種情形列出方程求解即可；

（3）①分三種情形a、如圖1中，當0≤t≤時，重疊部分是四邊形PEQF．b、如圖2中，當<t≤2時，重疊部分是四邊形PNQE．C、如圖3中，當2<t≤3時，重疊部分是五邊形MNPBQ．分別求解即可；②分兩種情形a、如圖4中，當DE：DQ=1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．b、如圖5中，當NE：PN=1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．分別列出方程即可解決問題；

試題解析：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，

∴AC===8，

∵CQ=t，

∴AQ=8-t（0≤t≤4）．

（2）①當PQ∥BC時， ，

∴，

∴t=s．

②當PQ∥AB時， ，

∴，

∴t=3，

綜上所述，t=s或3s時，當PQ與△ABC的一邊平行．

（3）①如圖1中，a、當0≤t≤時，重疊部分是四邊形PEQF．

S=PEEQ=3t（8-4t-t）=-16t2+24t．

b、如圖2中，當<t≤2時，重疊部分是四邊形PNQE．

S=S四邊形PEQF-S△PFN=（16t2-24t）-（t-8）（t-8）=t2-t-．

C、如圖3中，當2<t≤3時，重疊部分是五邊形MNPBQ．

S=S四邊形PBQFS△FNM=t[6-3（t-2）]- [t-4（t-2）] [t-4（t-2）]=- t2+30t-24．

綜上所述，S=．

②a、如圖4中，當DE：DQ=1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

則有（3-3t）：（3-t）=1：2span>，解得t=s，

b、如圖5中，當NE：PN=1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，

∴（3t-3）：（3-t）=1：3，

解得t=s，

綜上所述，當t=s或s時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．