Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE

（1）求證：CE=AD

（2）當點D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明理由

（3）若D為AB的中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形BECD是菱形，理由見解析；（3）當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由見解析.

【解析】

（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據菱形的判定推出即可；（3）四邊形BECD為正方形，則∠ADE=∠BDE=45°，可得∠ABC=45°，則∠A=45°.

（1）證明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD；

（2）解：四邊形BECD是菱形，理由如下：

∵D為AB中點，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD∥CE，

∴四邊形BECD是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，D為AB中點，

∴CD=BD，

∴四邊形BECD是菱形；

（3）若D為AB中點，則當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由如下：

∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴DC=DB，

∴∠DBC=∠DCB=45°，

∴∠CDB=90°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴四邊形BECD是正方形．