Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點C，點A（ ，1）在反比例函數y= 的圖象上．

（1）求反比例函數y= 的表達式；
（2）在x軸的負半軸上存在一點P，使得S△AOP= S△AOB ， 求點P的坐標；
（3）若將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE．直接寫出點E的坐標，并判斷點E是否在該反比例函數的圖象上．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（ ，1）在反比例函數y= 的圖象上，

∴k= ×1= ，

∴反比例函數表達式為y= .

（2）

解：∵A（ ，1），AB⊥x軸于點C，

∴OC= ，AC=1，

∵OA⊥OB，OC⊥AB，

∴∠A=∠COB，

∴tan∠A= =tan∠COB= ，

∴OC2=ACBC，即BC=3，

∴AB=4，

∴S△AOB= × ×4=2 ，

∴S△AOP= S△AOB= ，

設點P的坐標為（m，0），

∴ ×|m|×1= ，解得|m|=2 ，

∵P是x軸的負半軸上的點，

∴m=﹣2 ，

∴點P的坐標為（﹣2 ，0）

（3）

解：由（2）可知tan∠COB= = = ，

∴∠COB=60°，

∴∠ABO=30°，

∵將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE，

∴∠OBD=60°，

∴∠ABD=90°，

∴BD∥x軸，

在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，

∴AO=DE=2，OB=DB=2 ，且BC=3，OC= ，

∴OD=DB﹣OC= ，BC﹣DE=1，

∴E（﹣ ，﹣1），

∵﹣ ×（﹣1）= ，

∴點E在該反比例函數圖象上

【解析】（1）由點A的坐標，利用待定系數法可求得反比例函數表達式；（2）由條件可求得∠A=∠COB，利用三角函數的定義可得到OC2=ACBC，可求得BC的長，可求得△AOB的面積，設P點坐標為（m，0），由題意可得到關于m的方程，可求得m的值；（3）由條件可求得∠ABD=90°，則BD∥x軸，由BD、DE的長，可求得E點坐標，代入反比例函數解析式進行判斷即可．