Question

【題目】如圖，AD是圓O的切線，切點為A，AB是圓O的弦。過點B作BC//AD，交圓O于點C，連接AC，過點C作CD//AB，交AD于點D。連接AO并延長交BC于點M，交過點C的直線于點P，且BCP=ACD。

(1) 判斷直線PC與圓O的位置關系，并說明理由：

(2) 若AB=9，BC=6，求PC的長。

Answer 1

【答案】（1）相切；證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）通過分析，直線與圓O已經有一個公共點，連接半徑0C，只要證明OC⊥PC即可；（2）根據AD是切線和AD∥BC證明AP⊥BC，利用垂徑定理計算出CM＝BM＝3，在Rt△AMB中，利用勾股定義計算出AM的長，在Rt△OMC中，利用勾股定理建立方程計算出圓O的半徑的長，最后證明△OMC～△OCP，利用相似三角形的對應邊成比例計算出PC的長.

試題解析：(1) 直線PC與圓O相切.

連接CO并延長，交圓O于點N，連接BN.

∵AB//CD，

∴BAC=ACD.

∵BAC=BNC，

∴BNC=ACD.

∵BCP=ACD，

∴BNC=BCP.

∵CN是圓O的直徑，

∴CBN=90°.

∴BNC+BCN=90°，

∴BCP+BCN=90°.

∴PCO=90°，即PC^OC.

又∵點C在圓O上，

∴直線PC與圓O相切.

(2) ∵AD是圓O的切線，

∴AD^OA，即OAD=90°.

∵BC//AD，

∴OMC=180°-OAD=90°，即OM^BC.

∴MC=MB.

∴AB=AC.

在Rt△AMC中，AMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，

由勾股定理，得AM===6.

設圓O的半徑為r.

在Rt△OMC中，OMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，

由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，

∴(6-r)2+32=r2.

解得r=.

在△OMC和△OCP中，

∵OMC=OCP，MOC=COP，

∴△OMC～△OCP.

∴=，即 =.

∴PC=.