Question

（1）計算：2^-1+2007⁰+

1

2 +1

+tan45°；
（2）化簡求值：(1+

1

x-1

)•(x2-1)，其中x=

1

3

．
（3）在數學上，對于兩個數p和q有三種平均數，即算術平均數A、幾何平均數G、調和平均數H，其中A=

p+q

2

，G=

pq

．而調和平均數中的“調和”二字來自于音樂，畢達哥拉斯學派通過研究發現，如果三根琴弦的長度p=10，H=12，q=15滿足

1

10

-

1

12

=

1

12

-

1

15

，再把它們繃得一樣緊，并用同樣的力彈撥，它們將會分別發出很調和的樂聲．我們稱p、H、q為一組調和數，而把H稱為p和q的調和平均數．
①若p=2，q=6，則A=______，G=______．
②根據上述關系，用p、q的代數式表示出它們的調和平均數H；并根據你所得到的結論，再寫出一組調和數．

Answer 1

（1）原式=

1

2

+1+

2 -1

( 2 -1)( 2 +1)

+1，
=

1

2

+1+

2

-1+1，
=

3

2

+

2

；

（2）原式=

x

x-1

•（x+1）（x-1），
=x（x+1），
=x²+x，
當x=

1

3

時，原式=（

1

3

）²+

1

3

=

4

9

；

（3）①A=

2+6

2

=4；G=

2×6

=2

3

；
故答案為4，2

3

；
②

1

p

-

1

H

=

1

H

-

1

q

，
∴

2

H

=

1

p

+

1

q

，
∴H=

2pq

p+q

，
3、4、9就為一組調和數．