Question

【題目】如圖，矩形ABCD的頂點A在x軸的正半軸上，頂點D在y軸的正半軸上，點B、點C在第一象限，sin∠OAD=，線段AD、AB的長分別是方程x2﹣11x+24=0的兩根（AD＞AB）．

（1）求點B的坐標；

（2）求直線AB的解析式；

（3）在直線AB上是否存在點M，使以點C、點B、點M為頂點的三角形與△OAD相似？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B點的坐標為（4+，）．

（2）直線AB的解析式為y=x﹣

（3）M3（﹣8+，﹣4），M4（，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）首先求出AD、AB，根據sin∠OAD=推出∠DAO=60°，作BE⊥x軸于點E，在RT△ABE中，即可解決問題．

（2）利用待定系數法設直線AB為y=kx+b，把A、B坐標代入即可解決問題．

（3）分四種情形，利用相似三角形的性質求出AM的長，即可求出點M坐標．

試題解析：（1）作BE⊥x軸于點E，

解方程x2﹣11x+24=0得x1=3，x2=8．

∵AD＞AB∴AD=8，AB=3，

∵sin∠OAD=，∴∠OAD=60°，∴∠BAE=30°，OA=AD×cos60°=4，

∴AE=AB×cos30°=3×=，BE=AB×sin30°=，

∴B點的坐標為（4+，）．

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0）．

則，解得

∴直線AB的解析式為y=x﹣

（3）存在，如圖，①當△BCM1∽△ODA時，，

∴，∴BM1=，∴AM1=3+

作M1H⊥OA于H，

∵∠M1AH=30°，∴HM1=+，AH=+4，OH=8+，∴點M1（8+， +），

②當△CBM2∽△AOD時，，∴BM2=8，∴AM2=3+8，∴M2坐標為（16+，+4），

根據對稱性得到M3（﹣8+，﹣4），M4（，﹣）．