Question

【題目】對任意一個三位數n，如果n滿足各數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”．將一個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記為F（n）．例如n=123，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）計算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相異數”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數），規定：k= ，當F（s）+F（t）=18時，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：F（243）=（423+342+234）÷111=9； F（617）=（167+716+671）÷111=14
（2）解：∵s，t都是“相異數”，s=100x+32，t=150+y， ∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整數，
∴ 或 或 或 或 或 ．
∵s是“相異數”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相異數”，
∴y≠1，y≠5．
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴k的最大值為
【解析】（1）根據F（n）的定義式，分別將n=243和n=617代入F（n）中，即可求出結論；（2）由s=100x+32、t=150+y結合F（s）+F（t）=18，即可得出關于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根據“相異數”的定義結合F（n）的定義式，即可求出F（s）、F（t）的值，將其代入k= 中，找出最大值即可．