Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，點C關于拋物線對稱軸的對稱點為點D，拋物線頂點為H（1，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為直線AD上方拋物線的對稱軸上一動點，連接PA，PD．當S△PAD=3，若在x軸上存在一動點Q，使PQ+QB最小，求此時點Q的坐標及PQ+QB的最小值；

（3）若點E為拋物線上的動點，點G，F為平面內的點，以BE為邊構造以B，E，F，G為頂點的正方形，當頂點F或者G恰好落在y軸上時，求點E的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+；（2）；（3）或1+或2+．

【解析】

（1））由拋物線的頂點為H（1，2），可以假設拋物線的解析式為y=a（x-1）2+2，把A（-1，0）代入得到，a=-；

（2）如圖1中，連接PA，PD，在y軸上取一點M（0，-），連接BM，作QN⊥BM于N．設AD交對稱軸于K．首先證明QN=BQ，推出PQ+BQ=PQ+QN，根據垂線段最短可知，當HN⊥BM，且P，Q，N共線時，PQ+BQ的值最小，最小值=線段PN的值；

（3）設P（m，-m2+m+3），有三種情況：①如圖2，當G在y軸上時，過E作EQ⊥y軸于Q，作EM⊥x軸于M，證明△EQG≌△EMB，則EQ=EM，列方程可得m的值；②當F在y軸上時，如圖3，過E作EM⊥x軸于M，同法可得；③當G在y軸上時，如圖4，作EM⊥OB于E，EN⊥OG于N．只要證明EM=EN，構建方程即可解決問題.

（1）∵拋物線的頂點為H（1，2），

∴可以假設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+2，

把A（﹣1，0）代入得到，a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+2，即y=﹣x2+x+；

（2）如圖1中，連接PA，PD，在y軸上取一點M（0，﹣），連接BM，作QN⊥BM于N．設AD交對稱軸于K，

由題意C（0，），D（2，），A（﹣1，0），B（3，0），

∴直線AD的解析式為y=x+,，

∴K（1，1），設P（1，m），

則有×（m﹣1）×3=3，

∴m=3，

∴P（1，3），

∵OB=3，OM=，

∴BM=，

∴sin∠ABM==，

∴=，

∴QN=BQ，

∴PQ+BQ=PQ+QN，

根據垂線段最短可知，當HN⊥BM，且P，Q，N共線時，PQ+BQ的值最小，最小值=線段PN的值,

∵直線BM的解析式為y=x﹣，

∴當PN⊥BM時，直線PN的解析式為y=﹣2x+5，此時Q（3，0），

由，解得，

∴N（，﹣），

∴PN==，

∴PQ+BQ的最小值為；

（3）設F（m，﹣m2+m+），

有三種情況：

①如圖2，當G在y軸上時，過E作EQ⊥y軸于Q，作EM⊥x軸于M，

∵四邊形EBFG是正方形，

∴EG=EB，

∵∠EQG=∠EMB=90°，∠QEG=∠MEB，

∴△EQG≌△EMB，

∴EQ=EM，

即m=﹣m2+m+，

解得：m1=，m2=﹣（舍），

∴E的橫坐標為；

②當F在y軸上時，如圖3，過E作EM⊥x軸于M，

同理得：△EMB≌△BOF，

∴OB=EM=3，

即﹣m2+m+=﹣3，

m1=1﹣（舍），m2=1+，

∴E的橫坐標為1+；

③當G在y軸上時，如圖4，作EM⊥OB于E，EN⊥OG于N，

同法可證：EN=EM，

∴m=﹣（﹣m2+m+），

解得m1=2+，m2=2﹣（舍棄），

∴點E的橫坐標為2+

綜上所述，點E的橫坐標為或1+或2+．