Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD，點P在射線BC上，將△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直線與AP所在直線交于點F.

（1）如圖1，當點P在邊BC上時：

①若∠BAP=30°，求∠AFD的度數；

②若點P是BC邊上任意一點時（不與B，C重合），∠AFD的度數是否會發生變化？試證明你的結論；

（2）如圖2，若點P在BC邊的延長線上時，∠AFD的度數是否會發生變化？試在圖中畫出圖形，并直接寫出結論；

（3）是否存在這樣的情況，點E為線段DF的中點，如果存在，求BP的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①∠AFD的度數為45°；②∠AFD的度數不會發生變化，證明見解析；

（2）畫出圖形見解析，∠AFE 的大小不會改變，理由見解析；

（3）BP的值為1.

【解析】（1）①∵∠EAP =∠BAP =30°，∴∠DAE =90°-30°×2=30°．

∵在△ADE中，AD =AE，∠DAE =30°，

∴∠ADE =∠AED =（180°﹣30°）÷2=75°．

∵在△AFD中，∠FAD =30°﹢30°=60°，∠ADF =75°，

∴∠F =180°﹣60°﹣75°=45°．

②方法一：

作AG⊥DF于G ，

∵在△ADE在，AD =AE，AG ⊥DE ，

∴AG平分∠DAE，∠2=∠DAG．

∵∠1=∠BAP，

∴∠1﹢∠2 =×90°=45°．

∴∠F =90°﹣45°=45°．

方法二：

②設∠BAP =∠EAP = ，則∠EAD=90°-2，∠FAD=90°- ．

∵在△ADE中，AD =AE，∠EAD=90°-2，

∴∠ADE= (180°-∠EAD)= (180°-90°+2)=45°+ ．

∴在△ADF中，∠F=180°-∠FAD-∠ADE=180°-(90°- )-(45°+ )=45°．

（2）方法一：

作圖如圖2所示，∠AFE 的大小不會改變．作AG⊥DE于G ，得∠DAG =∠EAG ，

設∠DAG =∠EAG = ．

∴∠BAE =90°+2．

∴∠FAE =∠BAE =45°+ ．

∴∠FAG =∠FAE -∠EAG =45°．

方法二：

(2) ∠AFD 的大小不會改變．

設∠BAP =∠EAP = ,則∠EAD=2－90° ，

∵在△ADE中，AD =AE，∠EAD=2-90°，

∴∠AED= (180°-∠EAD)= (180°-2+90°)=135°- ．

∴在△AEF中, ∠AFD=180°-∠FAE-∠AED=180°- -(135°- )=45°．

（3）存在點E為DF的中點．

連接BE交AF于點O，作EG∥AD，得EG∥BC．

∵EG∥AD，DE=EF，

∴EG=AD=1．

∵AB=AE，∴點A在線段BE的垂直平分線上．

同理得：點P在線段BE的垂直平分線上．

∴AF垂直平分線段BE．

∴OB=OE．

∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE．

∴BP=EG=1．