Question

【題目】如圖，點M是直線y=2x+3上的動點，過點M作MN垂直于x軸于點N，y軸上是否存在點P，使得△MNP為等腰直角三角形，則符合條件的點P有（提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）（　　）

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據等腰直角三角形的定義,由題意,應分兩類情況討論：當MN為直角邊時和當MN為斜邊時點Ｐ的位置的求法．

當M運動到(－1，1)時，ON=1，MN=1，

∵MN⊥x軸，所以由ON=MN可知，(0，0)和(0，1)就是符合條件的P點；

又當M運動到第三象限時，要MN=MP，且PM⊥MN，設點M(x，2x+3)，則有－x=－(2x+3)，解得x=－3，所以點P坐標為(0，－3)．

如若MN為斜邊時，則∠ONP=45°，所以ON=OP，設點M(x，2x+3)，則有－x=－(2x+3)，化簡得－2x=－2x－3，這方程無解，所以這時不存在符合條件的P點；

又當點M′在第二象限，M′N′為斜邊時，這時N′P=M′P，∠M′N′P=45°，設點M′(x，2x+3)，則OP=ON′，而OP=M′N′，∴有－x=(2x+3)，解得x=－，這時點P的坐標為(0，－)．

因此，符合條件的點P坐標是(0，0)，(0，－)，(0，－3)，(0，1)．

故答案選C,