Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（2，3）．雙曲線y= （x＞0）的圖象經過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE．

（1）求k的值及點E的坐標；
（2）若點F是OC邊上一點，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BC∥x軸，點B的坐標為（2，3），

∴BC=2，

∵點D為BC的中點，

∴CD=1，

∴點D的坐標為（1，3），

代入雙曲線y= （x＞0）得k=1×3=3；

∵BA∥y軸，

∴點E的橫坐標與點B的橫坐標相等，為2，

∵點E在雙曲線上，

∴y=

∴點E的坐標為（2， ）

（2）

解：∵點E的坐標為（2， ），B的坐標為（2，3），點D的坐標為（1，3），

∴BD=1，BE= ，BC=2

∵△FBC∽△DEB，

∴

即：

∴FC=

∴點F的坐標為（0， ）

設直線FB的解析式y=kx+b（k≠0）

則

解得：k= ，b=

∴直線FB的解析式y=

【解析】（1）首先根據點B的坐標和點D為BC的中點表示出點D的坐標，代入反比例函數的解析式求得k值，然后將點E的橫坐標代入求得E點的縱坐標即可；（2）根據△FBC∽△DEB，利用相似三角形對應邊的比相等確定點F的坐標后即可求得直線FB的解析式．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．