Question

【題目】如圖，點P是∠MON內的一點，過點P作PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B，且OA=OB．

（1）求證：PA=PB；

（2）如圖②，點C是射線AM上一點，點D是線段OB上一點，且∠CPD+∠MON=180°，若OC=8，OD=5．求線段OA的長．

（3）如圖③，若∠MON=60°，將PB繞點P以每秒2°的速度順時針旋轉，12秒后，PA開始繞點P以每秒10°的速度順時針旋轉，PA旋轉270°后停止，此時PB也隨之停止旋轉．旋轉過程中，PA所在直線與OM所在直線的交點記為G，PB所在直線與ON所在直線的交點記為H．問PB旋轉幾秒時，PG=PH？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OA=6.5；（3）滿足條件的t的值為15s或25s或37.5s．

【解析】

（1）如圖1中，連接OP，證明Rt△OPA≌Rt△OPB（HL）即可解決問題．

（2）如圖②中，想辦法證明OC+OD=2OA即可解決問題．

（3）設點P的旋轉時間為t秒．分四種情形①當0＜t＜12時，不存在．②當12≤t＜21時，如圖3-1中．③當21≤t＜30時，如圖3-2中．④當30≤t＜39時，如圖3-3中，分別求解即可解決問題．

（1）證明：如圖①中，連接OP．

∵PA⊥OM，PB⊥ON，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵OA=OB，OP=OP，

∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），

∴PA=PB．

（2）如圖②中，

∵∠PAO=∠PBO=90°，

∴∠AOB+∠APB=180°，

∵∠CPD+∠AOB=180°，

∴∠CPD=∠APB，

∴∠APC=∠BPD，

∵PA=PB，∠PAC=∠PBD=90°，

∴△PAC≌△PBD（ASA），

∴AC=BD，

∴OC+OD=OA+AC+OB-BD=2OA=13，

∴OA=6.5．

（3）設點P的旋轉時間為t秒．

①當0＜t＜12時，此時只有PB旋轉，PA沒有旋轉，故不存在PG=PH．

②當PA旋轉的度數為0°—90°時，時間t的取值為：12≤t＜21；

∴當12≤t＜21時，如圖3-1中，∠APG=（10t-120）°，∠BPH=2t°，

當∠APG=∠BPH時，△PAG≌△PBH，可得PG=PH，

此時10t-120=2t，

∴t=15．

③當PA旋轉的度數為90°—180°時，時間t的取值為：21≤t＜30，

∴當21≤t＜30時，如圖3-2中，∠APG=180°-∠APA′=180°-（10t-120）°=（300-10t）°，∠BPH=2t，

當∠APG=∠BPH時，△PAG≌△PBH，可得PG=PH，

此時300-10t=2t，

∴t=25．

④當PA旋轉的度數為180°—270°時，時間t的取值為：30≤t＜39；

當30≤t＜39時，如圖3-3中，∠APG=（10t-300）°，∠BPH=2t，

當∠APG=∠BPH時，△PAG≌△PBH，可得PG=PH，

此時10t-300=2t，

∴t=37.5；

綜上所述，滿足條件的t的值為15s或25s或37.5s．