Question

【題目】如圖，點A在直線l上，點Q沿著直線l以3厘米／秒的速度由點A向右運動，以AQ為邊作Rt，使∠BAQ=90°，，點C在點Q右側，CQ=1厘米，過點C作直線m⊥l，過的外接圓圓心O作OD⊥m于點D，交AB右側的圓弧于點E．在射線CD上取點F，使DF=CD，以DE、DF為鄰邊作矩形DEGF．設運動時間為t秒.

(1)直接用含t的代數(shù)式表示BQ、DF；

(2)當0＜t＜1時，求矩形DEGF的最大面積；

(3)點Q在整個運動過程中，當矩形DEGF為正方形時，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）， ；

（2）矩形DEGF的最大面積為；

（3）或

【解析】試題分析：（1）AB與OD交于點H ，根據(jù)題中的比例關系和勾股定理可表示出BQ的長；根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行和三角形的中位線定理可求得AH的長，再根據(jù)矩形的判定定理和矩形的性質(zhì)可求CD的長，即可表示出FD；

（2）根據(jù)題意表示出矩形的長和寬，然后構造二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的最值可求解；

（3）當矩形為正方形時，分別讓其長與寬相等，列方程求解即可.

試題解析：（1）， ；

（2）DE=OD-OE=t+1-t=1-t， ，∴當t=時，矩形DEGF的最大面積為；

（3）當矩形DEGF為正方形時， ,解得.