Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，點C在⊙O上，

AD平分∠CAB，BD是⊙O的切線，AD與BC相交于點E．

(1)求證：BD=BE；

(2)若DE=2，BD=，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1））設∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，進而求出∠D=∠BED=90°-α，從而可知BD=BE；

（2）設CE=x，由于AB是⊙O的直徑，∠AFB=90°，又因為BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD=，所以tanα= ，從而可求出AB==2，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．

（1）解：設∠BAD=α， ∵AD平分∠BAC

∴∠CAD=∠BAD=α，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，

∴∠ABC=90°﹣2α，

∵BD是⊙O的切線，∴BD⊥AB，∴∠DBE=2α，

∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，

∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α，

∴∠D=∠BED，∴BD=BE

（2）解：設AD交⊙O于點F，CE=x，則AC=2x，連接BF，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB=90°，∵BD=BE，DE=2，∴FE=FD=1，∵BD=，∴tanα=，∴AB==2

在Rt△ABC中，由勾股定理可知：（2x）2+（x+）2=（2）2 ，

∴解得：x=﹣或x=，∴CE=；