Question

【題目】如圖1，在直角坐標系xoy中，直線l：y=kx+b交x軸，y軸于點E，F，點B的坐標是（2，2），過點B分別作x軸、y軸的垂線，垂足為A、C，點D是線段CO上的動點，以BD為對稱軸，作與△BCD或軸對稱的△BC′D．

（1）當∠CBD=15°時，求點C′的坐標．
（2）當圖1中的直線l經過點A，且k=﹣ 時（如圖2），求點D由C到O的運動過程中，線段BC′掃過的圖形與△OAF重疊部分的面積．
（3）當圖1中的直線l經過點D，C′時（如圖3），以DE為對稱軸，作于△DOE或軸對稱的△DO′E，連結O′C，O′O，問是否存在點D，使得△DO′E與△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△CBD≌△C′BD，

∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，

∴∠CBC′=30°，

如圖1，作C′H⊥BC于H，則C′H=1，HB= ，

∴CH=2﹣ ，

∴點C′的坐標為：（2﹣ ，1）

（2）

解：如圖2，∵A（2，0），k=﹣ ，

∴代入直線AF的解析式為：y=﹣ x+b，

∴b= ，

則直線AF的解析式為：y=﹣ x+ ，

∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，

∵在點D由C到O的運動過程中，BC′掃過的圖形是扇形，

∴當D與O重合時，點C′與A重合，

且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形，

當C′在直線y=﹣ x+ 上時，BC′=BC=AB，

∴△ABC′是等邊三角形，這時∠ABC′=60°，

∴重疊部分的面積是： ﹣ ×22= π﹣

（3）

解：如圖3，設OO′與DE交于點M，則O′M=OM，OO′⊥DE，

若△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△，

在點D由C到O的運動過程中，△COO′中顯然只能∠CO′O=90°，

∴CO′∥DE，

∴CD=OD=1，

∴b=1，

連接BE，由軸對稱性可知C′D=CD，BC′=BC=BA，

∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°，

在Rt△BAE和Rt△BC′E中

∵ ，

∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），

∴AE=C′E，

∴DE=DC′+C′E=DC+AE，

設OE=x，則AE=2﹣x，

∴DE=DC+AE=3﹣x，

由勾股定理得：x2+1=（3﹣x）2，

解得：x=，

∵D（0，1），E（ ，0），

∴ k+1=0，

解得：k=﹣ ，

∴存在點D，使△DO′E與△COO′相似，這時k=﹣ ，b=1．

【解析】（1）利用翻折變換的性質得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，進而得出CH的長，進而得出答案；（2）首先求出直線AF的解析式，進而得出當D與O重合時，點C′與A重合，且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形，求出即可；（3）根據題意得出△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△，進而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），再利用勾股定理求出EO的長進而得出答案．
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式和勾股定理的概念，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．