Question

【題目】點D，E分別在△ABC的邊AC，BD上，BD，CE交于點F，連接AF，∠FAE＝∠FAD，FE＝FD．

（1）如圖1，若∠AEF＝∠ADF，求證：AE＝AD；

（2）如圖2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度數；

（3）在（2）的條件下，如圖3，點G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周長為20，求BC長．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）;（3）.

【解析】

（1）證明△AEF≌△ADF，根據全等三角形的對應邊相等證明結論；
（2）過點F分別作AB，BC，AC邊上的高，根據角平分線的性質定理得到FP=FQ，FP=FN，根據角平分線的判定定理得到CF平分∠ACB，證明Rt△PEF≌Rt△NDF，根據全等三角形的性質得到∠PEF=∠FDN，計算得到答案；
（3）在BC上取點R，使CR=CA，分別證明△CAF≌△CRF、△BGF≌△BRF，根據全等三角形的性質、三角形的周長公式計算即可．

（1）∵，，.

∴，∴.

（2）過點分別作，，邊上的高，，，，點，，為垂足.

∵，分別平分和，∴，，

∴，且，，∴平分.

∴.

∵，

∴

.

∵，∴，∴，∴，

∴.

∴且，

∴.

（3）在上取點，使，

∵，，∴.

∴，.

∵，∴，

∴，

∵，

∴，.

∴.

∵，，∴.

∴.

∵，

∴.