Question

頂點在矩形邊上的菱形叫做矩形的內接菱形．如圖，矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），（1）、（2）、（3）是三種不同內接菱形的方式．
①圖（1）中，若AH=BG=AB，則四邊形ABGH是矩形ABCD的內接菱形；
②圖（2）中，若點E、F、G和H分別是AB、BC、CD和DE的中點，則四邊形EFGH是矩形ABCD的內接菱形；
③圖（3）中，若EF垂直平分對角線AC，交BC于點E，交AD于點F，交AC于點O，則四邊形AECF是矩形ABCD的內接菱形．
（1）請你從①，②，③三個命題中選擇一個進行證明；
（2）在圖（1）、（2）、（3）中，證明圖（3）中菱形AECF是這三個不同的矩形ABCD的內接菱形面積最大的；
（3）比較（1）、（2）中矩形ABCD的內接菱形ABGH與EFGH的面積大小；
（4）在矩形ABCD中，你還能畫出第4種矩形內接菱形嗎？若能，請在（4）中畫出；若不能，則說明理由．

Answer 1

解：（1）①∵AH=BG，AH∥BG，
∴四邊形ABGH是平行四邊形，
又∵BG=AB，∴平行四邊形ABGH是菱形，
即四邊形ABGH是矩形ABCD的內接菱形；
②連接AC、BD，則EF=AC，EF∥AC；GH=AC，GH∥AC
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵BD=AC，
∴平行四邊形EFGH是菱形，
即四邊形EFGH是矩形ABCD的內接菱形；
③∵∠OAF=∠OCE，OA=OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵EF垂直平分對角線AC，
∴FA=FC
∴平行四邊形AECF是菱形，
即四邊形AECF是矩形ABCD的內接菱形．

（2）∵S_菱形ABGH=a²＜a•AE=S_菱形AECF
S_菱形EFGH=EG•FH＜AC•FE=S_菱形AECF，
∴圖（3）中菱形AECF是這三個不同的矩形ABCD的內接菱形面積最大的．

（3）∵S_菱形ABGH=a²，S_菱形EFGH=EG•FH=ab
當ab時，S_菱形ABGH＞S_菱形EFGH；
當a=b時，S_菱形ABGH=S_菱形EFGH；
當ab時，S_菱形ABGH＜S_菱形EFGH．

（4）在矩形ABCD中，還能畫出第4種矩形內接菱形
（答案不唯一）．如圖，AH=CF，EG垂直平分對角線FH．
分析：（1）①先證明是平行四邊形，再根據一組鄰邊相等證明，
②根據三角形中位線定理得到四條邊都相等，
③先根據三角形全等證明是平行四邊形，再根據對角線互相垂直證明是菱形；
（2）分別表示出三個菱形的面積，根據邊的關系即可得出圖（1）圖（2）的面積都小于圖（3）的面積；
（3）根據a與b的大小關系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三種情況討論；
（4）先作一條對角線，在作出它的垂直平分線分別與矩形的邊相交，連接四個交點即可．
點評：本題綜合性較強，主要考查菱形的判定和面積，對學生要求較高，需要在平時的學習中不斷努力．