Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：如果⊙C的半徑為r，⊙C外一點P到⊙C的切線長小于或等于2r，那么點P叫做⊙C的“離心點”.

（1）當⊙O的半徑為1時，

①在點P1（， ），P2（0，－2），P3（，0）中，⊙O的“離心點”是 ；

②點P（m，n）在直線上，且點P是⊙O的“離心點”，求點P橫坐標m的取值范圍；

（2）⊙C的圓心C在y軸上，半徑為2，直線與x軸、y軸分別交于點A，B. 如果線段AB上的所有點都是⊙C的“離心點”，請直接寫出圓心C縱坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①， ；②1≤m≤2；（2）圓心C縱坐標的取值范圍為： ≤＜或＜≤.

【解析】試題分析：（1）①求出各點到⊙O的切線長后根據新定義進行判斷即可得；

②用含m的代數式表示出點P到⊙O的切線長后根據新定義進行比較后得到關于m的不等式進行求解后即可得；

（2）先求得A、B兩點坐標，設C坐標為（0，yC ），AM、BN分別為⊙C的切線，切點分別為M、N，則有AM2=，BN2 =，由線段AB上的所有點都是⊙C的“離心點”，得不等式組，解不等式組即可得..

試題解析：（1）①過點P2作⊙O的切線P2N，切點為N，過點P3作⊙O的切線P3M，切點為M，

則∠P2NO=∠P3MO=90°，

∴P2N==，

P3M==2，

∵⊙O的半徑r=1，∴點P2、P3是⊙O的“離心點”，

∵ =1，∴點P1（， ）在⊙O上，∴點P1（， ）表示⊙O的“離心點”，

故答案為： ， ；

②過點P作⊙的切線PM，切點為M，

設P（m，－m＋3），則PM2=PO2-OM2=m2+(-m+3)2-12=2m2-6m+8，

∵點P是⊙O的“離心點”，⊙O的半徑為1，

∴PM≤2，

∴2m2-6m+8≤（2×1）2，

∴1≤m≤2；

（2）直線與x軸、y軸分別交于點A，B，所以A（2，0）、B（0，1），

設C坐標為（0，yC ），AM、BN分別為⊙C的切線，切點分別為M、N，

如圖，AM2=AC2-CM2==，

BN2=BC2-CN2=，

∵線段AB上的所有點都是⊙C的“離心點”，

∴，

∴≤＜或＜≤，

即圓心C縱坐標的取值范圍為： ≤＜或＜≤.