【題目】我們定義兩個不相交的函數圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個函數的“和諧值”．
(1)求拋物線y＝x2﹣2x+2與x軸的“和諧值”；
(2)求拋物線y＝x2﹣2x+2與直線y＝x﹣1的“和諧值”．
【答案】(1)拋物線y＝x2﹣2x+2與x軸的“和諧值”為1；(2)拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝x﹣1的“和諧值”為
．
【解析】
（1）根據題意將拋物線化成頂點式，找到函數最值即可求解；（2）取P點為拋物線y＝x2﹣2x+2任意一點，作PQ∥y軸交直線y＝x﹣1于Q，分析PQ的長度，得到二次函數解析式，求其頂點坐標即可.
(1)∵y＝(x﹣1)2+1，
∴拋物線上的點到x軸的最短距離為1，
∴拋物線y＝x2﹣2x+2與x軸的“和諧值”為1；
(2)如圖，P點為拋物線y＝x2﹣2x+2任意一點，作PQ∥y軸交直線y＝x﹣1于Q，
設P(t，t2﹣2t+2)，則Q(t，t﹣1)，
∴PQ＝t2﹣2t+2﹣(t﹣1)＝t2﹣3t+3＝(t﹣
)2+，
當t＝時，PQ有最小值，最小值為，
∴拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝x﹣1的“和諧值”為．
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【題目】如圖所示，二次函數
的圖象與
軸交于
、
兩點，與
軸交于點
，其中點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上，線段
、
的長（
）是方程
的兩個根，且點坐標為
．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）若點
是線段
上的一個動點（與點、不重合），過點作
∥
交
于點
，連接
. 設
的長為
，△
的面積為
，求S與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在（2）的基礎上試說明是否存在最大值，若存在，請求出的最大值，并求出此時點的坐標，判斷此時△
的形狀；若不存在，請說明理由．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(﹣3，2)，B(﹣1，4)，C(0，2)．
(1)請畫出△ABC關于點O的對稱圖形△A1B1C1；
(2)將△ABC繞原點O逆時針旋轉90°后得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2并求出在旋轉過程中點B所經過的圓弧長．
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【題目】已知二次函數y＝ax2+bx+c中的y與x的部分對應值如下表：
x | ﹣1 | 0 | 1 | 3 |
y | ﹣3 | 1 | 3 | 1 |
下列結論中：①拋物線的開口向下；②其圖象的對稱軸為x＝1；③當x＜1時，函數值y隨x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一個根大于4；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝3，其中正確的結論有( )
A.①②③B.①②③④⑤C.①③⑤D.①③④⑤
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【題目】有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬為20m，拱頂距水面4m．
（1）在如圖的直角坐標系中，求出該拋物線的解析式；
（2）為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18m，求水面在正常水位基礎上，最多漲多少米，不會影響過往船只？
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【題目】如圖，RT△ABC中，
，
. 動點
同時分別從點
出發，分別沿著射線
和射線
的方向均以每秒1個單位的速度運動，連接
，以為直徑作
交射線于點
，連接
，設運動的時間為
.
（1）當點
在線段上時，用關于
的代數式表示
________，
________. （直接寫出結果）
（2）在整個運動過程中，當為何值時，以點、
、為頂點的三角形與以點
、
、
為頂點的三角形相似？
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【題目】如圖，拋物線
與x軸交于點
，B兩點，與y軸交于點
，拋物線的頂點在直線
上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為第一象限內拋物線上的一個動點，過點P做
軸交BC于點Q，求線段PQ長度的最大值，及此時點P的坐標；
（3）點M在x軸上，點N在拋物線的對稱軸上，若以點M，N，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標．
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【題目】綜合與實踐探究幾何元素之間的關系
問題情境：四邊形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是直線AC上的一個動點（點E與點C，O，A都不重合），過點A，C分別作直線BE的垂線，垂足分別為F，G，連接OF，OG.
（1）初步探究：
如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，且點E在線段OC上，求證
；
（2）深入思考：請從下面A，B兩題中任選一題作答，我選擇_______題.
A.探究圖1中OF與OG的數量關系并說明理由；
B.如圖2，已知四邊形ABCD為菱形，且點E在AC的延長線上，其余條件不變，探究OF與OG的數量關系并說明理由；
（3）拓展延伸：請從下面AB兩題中任選一題作答，我選擇_______題.
如圖3，已知四邊形ABCD為矩形，且
，
.
A.點E在直線AC上運動的過程中，若
，則FG的長為________.
B.點E在直線AC上運動的過程中，若
，則FG的長為________.
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