Question

【題目】如圖1所示，以點M(1，0)為圓心的圓與y軸，x軸分別交于點A，B，C，D，與⊙M相切于點H的直線EF交x軸于點E（，0），交y軸于點F（0，）．

(1)求⊙M的半徑r；

(2)如圖2所示，連接CH，弦HQ交x軸于點P，若cos∠QHC=，求的值；

(3)如圖3所示，點P為⊙M上的一個動點，連接PE，PF，求PF+PE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）r=2；（2）=；（3）．

【解析】

（1）連接MH，根據點E（，0）和點F（0，），求出的值，再通過證明△EMH∽△EFO，得到，即可解出r的值；

（2）連接DQ、CQ，由cos∠QDC =cos∠QHC =，可得，由（1）可知，r=2，故CD=4，由DQ=3，CH是RT△EHM斜邊上的中線，得到CH=EM=2．再通過證明△CHP∽△QDP，即可得到；

（3）取CM的中點N，連接PM、PN，由OM=1，OE=5，可得ME=4，進而得到，

通過證明△PMN∽△EMP，可得，即，所以當F、P、N三點共線時，PF+PE的最小值為FN的長，根據勾股定理可求的PF+PE的最小值.

（1）如圖，連接MH，

∵點E（，0）和點F（0，），

∴OE=5，OF=，

∴，

∵M（-1，0），

∴OM=1，

∴EM=OE-OM=4，

∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，

∴△EMH∽△EFO，

∴，

即，

∴r=2；

(2) 如圖，連接DQ、CQ.

∵CD為直徑，∴∠CQD=90°，

∵∠QHC=∠QDC，

∴cos∠QDC =cos∠QHC =，

∴，

由（1）可知，r=2，故CD=4，

∴DQ=3，

∵CH是RT△EHM斜邊上的中線，
∴CH=EM=2．

∵∠CHP=∠QDP，∠CPH=∠QPD，

∴△CHP∽△QDP，

∴；

（3）如圖，取CM的中點N，連接PM、PN，

∵OM=1，OE=5，

∴ME=4，

∴，

又∵∠PMN=∠EMP，

∴△PMN∽△EMP，

∴，

∴，

當F、P、N三點共線時，PF+PE的最小值為FN的長，

∴點N為CM的中點，

∴ON=2，

∴，

∴PF+PE的最小值為.