Question

【題目】小圓同學(xué)對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.

（一）猜測探究

在中，，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)與相等的角度，得到線段，連接．

（1）如圖1，若是線段上的任意一點(diǎn)，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系是　 　，與的數(shù)量關(guān)系是　 　；

（2）如圖2，點(diǎn)是延長線上點(diǎn)，若是內(nèi)部射線上任意一點(diǎn)，連接，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由．

（二）拓展應(yīng)用

如圖3，在中，，，，是上的任意點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．求線段長度的最小值．

Answer 1

【答案】（一）（1）結(jié)論：，．理由見解析；（2）如圖2中，①中結(jié)論仍然成立．理由見解析；（二）的最小值為．

【解析】

（一）①結(jié)論：，．根據(jù)證明≌即可．

②①中結(jié)論仍然成立．證明方法類似．

（二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于．理由全等三角形的性質(zhì)證明，推出當(dāng)的值最小時，的值最小，求出的值即可解決問題．

（一）（1）結(jié)論：，．

理由：如圖1中，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴≌（），

∴．

故答案為，．

（2）如圖2中，①中結(jié)論仍然成立．

理由：∵，

∴，

∴，

∵，，

∴≌（），

∴．

（二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于．

∵，

∴，

∵，，

∴≌（），

∴，

∴當(dāng)的值最小時，的值最小，

在中，∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

在，∵，

∴，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時，的值最小，

∴的最小值為．