Question

某公司經銷某品牌運動鞋，年銷售量為10萬雙，每雙鞋按250元銷售，可獲利25%，設每雙鞋的成本價為a元．
（1）試求a的值；
（2）為了擴大銷售量，公司決定拿出一定量的資金做廣告，根據市場調查，若每年投入廣告費為x（萬元）時，產品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y與x之間的關系如圖所示，可近似看作是拋物線的一部分．
①根據圖象提供的信息，求y與x之間的函數關系式；
②求年利潤S（萬元）與廣告費x（萬元）之間的函數關系式，并請回答廣告費x（萬元）在什么范圍內，公司獲得的年利潤S（萬元）隨廣告費的增大而增多？
（注：年利潤S=年銷售總額-成本費-廣告費）

Answer 1

分析：（1）根據成本加上利潤等于銷售價，可以求出每雙鞋的成本價．
（2）①根據拋物線上的三個點（0，1），（2，1.36），（4，1.64），用待定系數法求出拋物線的解析式，得到y與x之間的函數關系式．
（3）根據年利潤等于年銷售總額減去成本減去廣告費，可以得到S關于x的函數，利用二次函數的性質求出S隨x增大而增大的x的取值范圍．

解答：解：（1）a（1+25%）=250，
解得a=200（元）．

（2）①依題意，設y與x之間的函數關系式為：y=ax²+bx+1，則

4a+2b+1=1.36 16a+4b+1=1.64

解得a=-0.01，b=0.2．
故y=-0.01x²+0.2x+1；
②S=（-0.01x²+0.2x+1）×[10×（250-200）]-x
S=-5x²+99x+500
當x=9.9萬元時，S最大．
故當0＜x＜9.9時，公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增多．
注：0＜x≤9.9，0≤x≤9.9均可．

點評：本題考查的是二次函數的應用，（1）根據成本，利潤與銷售價的關系求出成本．（2）①用待定系數法求出拋物線的解析式．②利用利潤減去成本減去廣告費求出S關于x的二次函數，然后利用二次函數的性質求出S隨x增大的范圍．