Question

【題目】如圖，在正方形中，，為上一動點，交于，過作交于，連接，過作于，下列有四個結論：①，②，③，④的周長為定值，其中正確的結論有（ ）．

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①作輔助線，延長HF交AD于點L，連接CF，通過證明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需證明FC＝FH，可證：AF＝FH；②由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；③作輔助線，連接AC交BD于點O，證BD＝2FG，只需證OA＝GF即可，根據△AOF≌△FGH，可證OA＝GF，故可證BD＝2FG；④作輔助線，延長AD至點M，使AD＝DM，過點C作CI∥HL，則IL＝HC，可證AL＝HE，再根據△MEC≌△MIC，可證：CE＝IM，故△CEH的周長為邊AM的長，為定值．

①連接FC，延長HF交AD于點L，

∵BD為正方形ABCD的對角線，

∴∠ADB＝∠CDF＝45°．

∵AD＝CD，DF＝DF，

∴△ADF≌△CDF．

∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．

∵∠ALH＋∠LAF＝90°，

∴∠LHC＋∠DAF＝90°．

∵∠ECF＝∠DAF，

∴∠FHC＝∠FCH，

∴FH＝FC．

∴FH＝AF．

②∵FH⊥AE，FH＝AF，

∴∠HAE＝45°．

③連接AC交BD于點O，可知：BD＝2OA，

∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，

∴∠AFO＝∠GHF．

∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，

∴△AOF≌△FGH．

∴OA＝GF．

∵BD＝2OA，

∴BD＝2FG．

④連接EM，延長AD至點M，使AD＝DM，過點C作CI∥HL，則：LI＝HC，

∵HL⊥AE，CI∥HL，

∴AE⊥CI，

∴∠DIC＋∠EAD＝90°，∵∠EAD＋∠AED＝90°，

∴∠DIC＝∠AED，

∵ED⊥AM，AD＝DM，

∴EA＝EM，

∴∠AED＝∠MED，

∴∠DIC＝∠DEM，

∴∠CIM＝∠CEM，

∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，

∴△MEC≌△CIM，可得：CE＝IM，

同理，可得：AL＝HE，

∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．

∴△CEH的周長為8，為定值．

故①②③④結論都正確．

故選：D．