Question

如圖，AB是半圓O上的直徑，E是

BC

的中點，OE交弦BC于點D，過點C作⊙O切線交OE的延長線于點F．已知BC=8，DE=2．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求CF的長；
（3）求tan∠BAD的值．

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理可得△BOD為直角三角形，根據勾股定理求出半徑；
（2）由1得OD=3，證明△COF∽△DOC，利用線段比求出CF；
（3）過點D作DM⊥AB于M，則可求DM、OM、AM的長，則tan∠BAD的值可求．

解答：解：（1）∵E是

BC

的中點，
∴OE垂直平分BC，
∴△BOD為直角三角形．
設半徑為x，則BO=x，OD=x-2，BD=4，
在直角△BOD中，根據勾股定理得（x-2）²+4²=x²，
解得x=5．
即⊙O的半徑為5；

（2）∵∠FCO=∠CDO=90°，∠COF=∠DOC，
∴△COF∽△DOC，
∴

CF

CD

=

OC

OD

，
∴CF=

20

3

；

（3）過點D作DM⊥AB于M，
∴DM=

3•4

5

=

12

5

．
又∵△ODM∽△OBD，
∴OM=

9

5

．
∴tan∠BAD=

DM

AM

=

12 5

9 5 +5

=

6

17

．

點評：本題綜合考查了相似三角形，勾股定理，垂徑定理等相關知識，本題難度偏難．