Question

【題目】如圖，在正方形中，點是對角線上一點，且，過點作交于點，連接．

（1）求證：；

（2）當時，求的值．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)4+4

【解析】

(1)連接CF,利用HL證明Rt△CDF≌Rt△CEF,可得DF=EF,再根據等腰直角三角形可得EF=AF,所以得出DF=AE．

(2) 過點E作EH⊥AB于H,利用勾股定理求出AC,再求出AE,根據特殊直角三角形的邊長比求出EH和AH,可得BH,再利用勾股定理求出BE2即可．

(1)連接CF,

∵∠D=∠CEF=90°,CD=CE,CF=CF,

∴Rt△CDF≌Rt△CEF(HL),

∴DF=EF,

∵AC為正方形ABCD的對角線,

∴∠CAD=45°,

∴△AEF為等腰直角三角形,

∴EF=AF,

∴DF=AE．

(2) ∵AB＝2+,

∴由勾股定理得AC＝2+2,

∵CE＝CD,

∴AE＝．

過點E作EH⊥AB于H,則△AEH是等腰直角三角形．

∴EH＝AH＝AE＝×＝1．
∴BH＝2+－1＝1+．

在Rt△BEH中,BE2＝BH2＋EH2＝(1+)2＋12＝4+4．