Question

（2013•婺城區二模）初三（1）班數學興趣小組在社會實踐活動中，進行了如下的課題研究：
用一長為18cm、寬為12cm的矩形鐵皮（如右圖），裁剪出一個扇形，使扇形的面積盡可能大．小組討論后，設計了以下三種方案：
（1）以CD為直徑畫弧（如圖1），則截得的扇形面積為

18π

cm²；
（2）以C為圓心，CD為半徑畫弧（如圖2），則截得的扇形面積為

36π

cm²；
（3）以BC為直徑畫弧（如圖3），則截得的扇形面積為

81

2

π

cm²；經過這三種情形的研究，小明突然受到啟發，他覺得下面這一方案更佳：圓心仍在BC邊上，以OC為半徑畫弧，切AD于E，交AB于F（如圖4）．請你通過計算說明，小明的方案所截得的扇形面積更大．

Answer 1

分析：（1）直接根據圓的面積公式計算出半圓的面積即可；
（2）根據扇形的面積公式計算出扇形的面積即可；
（3）直接根據圓的面積公式計算出半圓的面積；連接OE，根據切線的性質可知，OE⊥AD，故可得出四邊形OCDE是正方形，根據扇形的面積公式求出扇形EOC的面積，再根據OF，OB的長度求出△OBF中∠OFB的面積，進而得出∠BOF的度數，再根據扇形的面積公式計算出扇形EOF的面積，進而可得出結論．

解答：解：（1）∵CD=12cm，
∴OC=6cm，
∴S_扇形=

1

2

π（OC）²=

1

2

π×6²=18πcm²．

（2）∵CD=12cm，∠C=90°，
∴S_扇形DCE=

90π×122

360

=36πcm²；

（3））∵BC=18cm，
∴OC=9cm，
∴S_扇形=

1

2

π（OC）²=

1

2

π×9²=

81

2

πcm²．
故答案為：

81

2

π；
如圖4，連接OE，
∵AD與

CF

相切于點E，
∴OE⊥AD，
∴四邊形OCDE是正方形，
∴OE=OC=CD=12cm，
S_扇形EOC=

1

4

π（OC）²=

1

4

π×12²=36π；
∵OB=BC-OC=18-12=6cm，OF=CD=12cm，∠B=90°，
∴∠OFB=30°，
∴∠BOF=90°-30°=60°，
∴∠EOF=30°，
∴S_扇形EOF=

30π×122

360

=12π，
∴S_扇形COF=S_扇形EOC+S_扇形EOF=36π+12π=48πcm²．
故答案為：18π；36π．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到扇形面積的計算、圓的面積及切線的性質等知識，難度適中．