Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E是對角線BD上一動點．

（1）如圖1，當CE⊥BD時，求DE的長；

（2）如圖2，作EM⊥EN分別交邊BC于M，交邊CD于N，連MN．

①若，求tan∠ENM；

②若E運動到矩形中心O，連CO．當CO將△OMN分成兩部分面積比為1：2時，直接寫出CN的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②或．

【解析】

（1）由矩形性質可求得對角線BD＝10，由CE⊥BD得∠CED＝∠BCD＝90°，再由公共角∠CDE＝∠BDC得△CDE∽△BDC，由對應邊成比例并把數值代入即求得DE的長．

（2）①由和BD＝10求得DE＝，BE＝．分別過點M、N作BD的垂線段MF、NG，設MF＝a，NG＝b，易證△FBM∽△CBD和△GDN∽△CDB，利用對應邊成比例得到用a表示BF、用b表示DG的式子，進而得到用a表示的EF、用b表示的EG．又由EM⊥EN易證△EMF∽△NEG，得到，利用后兩個比值把含a、b的式子代入求得a與b之間的關系，再代回去即求得tan∠ENM＝的值．

②先由①的證明過程求得；過點M作MP⊥OC于點P，過點N作NQ⊥OC于點Q，構造△MOP∽△ONQ，所以有．易證△NCQ∽△BDC，設CN＝5x，則可利用對應邊成比例得到NQ＝4x、CQ＝3x，進而得OQ＝5﹣3x．CO將△OMN分成△OMH和△ONH，兩部分面積比為1：2，若以OH為底，則他們的高MP和NQ的比為1：2或2：1，進而可用x表示MP的長．把用x表示的MP、OQ代入，即求得x的值，進而得CN的長．

解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8

∴∠BCD＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6

∴BD＝＝10

∵CE⊥BD

∴∠CED＝∠BCD＝90°

∵∠CDE＝∠BDC

∴△CDE∽△BDC

∴

∴DE＝

（2）①如圖1，過點M作MF⊥BD于點F，過點N作NG⊥BD于點G

∵，BD＝10

∴BD＝BE+DE＝3DE+DE＝4DE＝10

∴DE＝，BE＝

設MF＝a，NG＝b

∵∠BFM＝∠C＝90°，∠FBM＝∠CBD

∴△FBM∽△CBD

∴

∴BF＝＝a

∴EF＝BE﹣BF＝a

同理可證：△GDN∽△CDB

∴

∴DG＝＝b

∴EG＝DE﹣DG＝b

∵EM⊥EN

∴∠MEN＝∠MFE＝∠NGE＝90°

∴∠MEF+∠NEG＝∠MEF+∠EMF＝90°

∴∠EMF＝∠NEG

∴△EMF∽△NEG

∴

∴EFEG＝NGMF

∴（a）（b）＝ba

整理得：16a＝90﹣27b

∴在Rt△MEN中，tan∠ENM＝＝

②如圖2，過點M作MF⊥BD于點F，MP⊥OC于點P，過點N作NG⊥BD于點G，NQ⊥OC于點Q，設OC與MN交點為H

∵點O為矩形中心，BD＝10

∴OB＝OD＝OC＝BD＝5

由①可得，設MF＝a，NG＝b，則BF＝＝a，DG＝＝b，OFOG＝NGMF

∴OF＝OB﹣BF＝5﹣a，OG＝OD﹣DG＝5﹣b

∴（5﹣a）（5﹣b）＝ab

整理得：16a＝60﹣9b

∴＝

設CN＝5x

∵∠NCQ＝∠BDC，∠NQC＝∠BCD＝90°

∴△NCQ∽△BDC

∴＝

∴CQ＝CN＝3x，NQ＝CN＝4x

∴OQ＝OC﹣CQ＝5﹣3x

∵∠MPO＝∠MON＝∠OQN＝90°

∴∠MOP+∠NOQ＝∠NOQ+∠ONQ＝90°

∴∠MOP＝∠ONQ

∴△MOP∽△ONQ

∴

（i）若S△OMH＝2S△ONH，且兩三角形都以OH為底

∴MP＝2NQ＝8x

∴

解得：x＝

∴CN＝

（ii）若2S△OMH＝S△ONH，則MP＝NQ＝2x

∴

解得：x＝

∴CN＝

綜上所述，CN的長為或．