Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D在直線AB上，連接CD，并把CD繞點C逆時針旋轉90°到CE．

（1）如圖1，點D在AB邊上，線段BD、BE、CD的數量關系為　 　．

（2）如圖2，點D在點B右側，請猜想線段BD、BE、CD的數量關系，并證明你的結論．

（3）如圖3，點D在點A左側，BC＝，AD＝BE＝1，請直接寫出線段EC的長．

Answer 1

【答案】（1）結論：BE2+BD2＝2CD2（2）結論：BE2+BD2＝2CD2（3）

【解析】

（1）如圖1中，連接DE，易證△ACD≌△BCE（SAS），得到AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，得到∠A＝∠CBA＝45°，則∠ABE＝90°，有DE2＝BD2+BE2，DE＝CD，得到BE2+BD2＝2CD2．

（2）整體思路如（1）先證△ACD≌△BCE，然后找出DE2＝BD2+BE2，利用DE＝CD，即可得證

（3）如圖3中，連接DE．先求出BD，然后利用前兩問結論直接代入計算即可

解：（1）結論：BE2+BD2＝2CD2．

理由：如圖1中，連接DE．

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴∠ABE＝90°，

∴DE2＝BD2＝BE2，

∵DE＝CD，

∴BE2+BD2＝2CD2．

（2）結論：BE2+BD2＝2CD2．

理由：如圖2中，連接DE．

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴∠ABE＝∠EBD＝90°，

∴DE2＝BD2+BE2，

∵DE＝CD，

∴BE2+BD2＝2CD2．

（3）如圖3中，連接DE．

∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，

∴AB＝BC＝2，

∴AD＝BE＝1，

∴BD＝3，

由（2）可知：BD2+BE2＝2EC2，

∴9+1＝2EC2，

∴EC＝．