Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，﹣），OA=1，OB=4，直線l過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，且滿足tan∠OAD=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸正方形以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AE以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①在P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得△ADC與△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

②在P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=；（2）①存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；②當(dāng)t=時(shí)，△APQ與△CAQ的面積之和最大.

【解析】（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求解析式

（2）①分別用t表示△ADC、△PQA各邊，應(yīng)用分類討論相似三角形比例式，求t值；

②分別用t表示△APQ與△CAQ的面積之和，討論最大值．

（1）∵OA=1，OB=4，

∴A（1，0），B（﹣4，0），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣1），

∵點(diǎn)C（0，﹣）在拋物線上，

∴﹣，

解得a=.

∴拋物線的解析式為y=.

（2）存在t，使得△ADC與△PQA相似．

理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，

則tan∠ACO=，

∵tan∠OAD=，

∴∠OAD=∠ACO，

∵直線l的解析式為y=，

∴D（0，﹣），

∵點(diǎn)C（0，﹣），

∴CD=，

由AC2=OC2+OA2，得AC=，

在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，

由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC與△PQA相似，

只需或，

則有或，

解得t1=，t2=，

∵t1＜2.5，t2＜2.5，

∴存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；

②存在t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大，

理由：作PF⊥AQ于點(diǎn)F，CN⊥AQ于N，

在△APF中，PF=APsin∠PAF=，

在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，

在△ADC中，由S△ADC= ，

∴CN=，

∴S△AQP+S△AQC= ，

∴當(dāng)t=時(shí)，△APQ與△CAQ的面積之和最大.