Question

【題目】江南農場收割小麥，已知1臺大型收割機和3臺小型收割機1小時可以收割小麥1.4公頃，2臺大型收割機和5臺小型收割機1小時可以收割小麥2.5公頃．

（1）每臺大型收割機和每臺小型收割機1小時收割小麥各多少公頃？

（2）大型收割機每小時費用為300元，小型收割機每小時費用為200元，兩種型號的收割機一共有10臺，要求2小時完成8公頃小麥的收割任務，且總費用不超過5400元，有幾種方案？請指出費用最低的一種方案，并求出相應的費用．

Answer 1

【答案】（1）每臺大型收割機1小時收割小麥0.5公頃，每臺小型收割機1小時收割小麥0.3公頃；（2）有三種方案，當大型收割機和小型收割機各5臺時，總費用最低，最低費用為5000元．

【解析】

試題分析：（1）設每臺大型收割機1小時收割小麥x公頃，每臺小型收割機1小時收割小麥y公頃，根據“1臺大型收割機和3臺小型收割機1小時可以收割小麥1.4公頃，2臺大型收割機和5臺小型收割機1小時可以收割小麥2.5公頃”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設大型收割機有m臺，總費用為w元，則小型收割機有（10﹣m）臺，根據總費用=大型收割機的費用+小型收割機的費用，即可得出w與m之間的函數關系式，由“要求2小時完成8公頃小麥的收割任務，且總費用不超過5400元”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，依此可找出各方案，再結合一次函數的性質即可解決最值問題．

試題解析：（1）設每臺大型收割機1小時收割小麥x公頃，每臺小型收割機1小時收割小麥y公頃，根據題意得：，解得：．

答：每臺大型收割機1小時收割小麥0.5公頃，每臺小型收割機1小時收割小麥0.3公頃．

（2）設大型收割機有m臺，總費用為w元，則小型收割機有（10﹣m）臺，根據題意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．

∵2小時完成8公頃小麥的收割任務，且總費用不超過5400元，∴，解得：5≤m≤7，∴有三種不同方案．

∵w=200m+4000中，200＞0，∴w值隨m值的增大而增大，∴當m=5時，總費用取最小值，最小值為5000元．

答：有三種方案，當大型收割機和小型收割機各5臺時，總費用最低，最低費用為5000元．