Question

【題目】（問題）用n個2×1矩形，鑲嵌一個2×n矩形，有多少種不同的鑲嵌方案？（2×n矩形表示矩形的鄰邊是2和n）

（探究）不妨假設有an種不同的鑲嵌方案．為探究an的變化規律，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單情形入手，再逐次遞進，最后猜想得出結論．

探究一：用1個2×1矩形，鑲嵌一個2×1矩形，有多少種不同的鑲嵌方案？

如圖（1），顯然只有1種鑲嵌方案．所以，a1＝1．

探究二：用2個2×1矩形，鑲嵌一個2×2矩形，有多少種不同的鑲嵌方案？

如圖（2），顯然只有2種鑲嵌方案．所以，a2＝2．

探究三：用3個2×1矩形，鑲嵌一個2×3矩形，有多少種不同的鑲嵌方案？

一類：在探究一每個鑲嵌圖的右側再橫著鑲嵌2個2×1矩形，有1種鑲嵌方案；

二類：在探究二每個鑲嵌圖的右側再豎著鑲嵌1個2×1矩形，有2種鑲嵌方案；

如圖（3）．所以，a3＝1+2＝3．

探究四：用4個2×1矩形，鑲嵌一個2×4矩形，有多少種不同的鑲嵌方案？

一類：在探究二每個鑲嵌圖的右側再橫著鑲嵌2個2×1矩形，有　 　種鑲嵌方案；

二類：在探究三每個鑲嵌圖的右側再豎著鑲嵌1個2×1矩形，有　 　種鑲嵌方案；

所以，a4＝　 　．

探究五：用5個2×1矩形，鑲嵌一個2×5矩形，有多少種不同的鑲嵌方案？

（仿照上述方法，寫出探究過程，不用畫圖）

……

（結論）用n個2×1矩形，鑲嵌一個2×n矩形，有多少種不同的鑲嵌方案？

（直接寫出an與an﹣1，an﹣2的關系式，不寫解答過程）．

（應用）用10個2×1矩形，鑲嵌一個2×10矩形，有　 　種不同的鑲嵌方案．

Answer 1

【答案】（1）2，3，5；（2）an＝an﹣1+an﹣2；（3）89.

【解析】

探究四：畫圖進行說明：a4=2+3=5；

探究五：同理在探究三每個鑲嵌圖的右側再橫著鑲嵌2個2×1矩形和探究四每個鑲嵌圖的右側再豎著鑲嵌個1個2×1矩形，相加可得結論；

結論：根據探究四和五可得規律：an=an-1+an-2；

應用：利用結論依次化簡，將右下小標志變為5和4，并將探究四和五的值代入可得結論．

解：探究四：

如圖4所示：

一類：在探究二每個鑲嵌圖的右側再橫著鑲嵌2個2×1矩形，有2種鑲嵌方案；

二類：在探究三每個鑲嵌圖的右側再豎著鑲嵌1個2×1矩形，有3種鑲嵌方案；

所以，a4＝2+3＝5．

故答案為2，3，5；

探究五：

一類：在探究三每個鑲嵌圖的右側再橫著鑲嵌2個2×1矩形，有3種鑲嵌方案；

二類：在探究四每個鑲嵌圖的右側再豎著鑲嵌1個2×1矩形，有5種鑲嵌方案；

所以，a5＝3+5＝8．

……

結論：an＝an﹣1+an﹣2；

應用：a10＝a9+a8＝a7+a8+a8＝2a8+a7＝2（a7+a6）+a7＝3a7+2a6＝3（a6+a5）+2a6＝5a6+3a5＝5（a5+a4）+3a5＝8a5+5a4＝8×8+5×5＝89．

故答案為89．