Question

【題目】如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．

（1）求證：△OCD是等邊三角形；

（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）△AOD是直角三角形，理由詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)α＝110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=DC，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，結(jié)合圖形計(jì)算即可；

（3）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三種情況，根據(jù)等腰三角形的判定定理計(jì)算即可．

解：（1）∵△BOC≌△ADC，

∴OC＝DC．

∵∠OCD＝60°，

∴△OCD是等邊三角形．

（2）△AOD是直角三角形．

理由如下：

∵△OCD是等邊三角形，

∴∠ODC＝60°，

∵△BOC≌△ADC，∠α＝150°，

∴∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，

∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，

∴△AOD是直角三角形．

（3）∵△OCD是等邊三角形，

∴∠COD＝∠ODC＝60°．

∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，

∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，

∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，

∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．

①當(dāng)∠AOD＝∠ADO時(shí)，190°﹣α＝α﹣60°，

∴α＝125°．

②當(dāng)∠AOD＝∠OAD時(shí)，190°﹣α＝50°，

∴α＝140°．

③當(dāng)∠ADO＝∠OAD時(shí)，

α﹣60°＝50°，

∴α＝110°．

綜上所述：當(dāng)α＝110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．