Question

某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD（DC＜BC）的對角線交點O旋轉（如圖①→②），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與三角形DBC的邊CD、BC的交點．
（1）在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，有CN²+DC²=BN²成立，請說明理由．
（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數量關系，請你用一個等式在橫線上直接表示出探究的結論：

CN²+CM²=DM²+BN²

．證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，連接DN，在Rt△CDN中，根據勾股定理可得：ND²=NC²+CD²，再根據ON垂直平分BD，可得：BN=DN，從而可證：BN²=NC²+CD²．
（2）作輔助線，延長MO交AB于點E，可證：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根據勾股定理和對應邊相等，可證：CN²+CM²=DM²+BN²．

解答：解：（1）選擇圖①證明：連接DN．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BO=DO，∠DCN=90°，
∵ON⊥BD，∴NB=ND，
∵∠DCN=90°，
∴ND²=NC²+CD²，
∴BN²=NC²+CD²．

（2）CM²+CN²=DM²+BN²．
證明：理由如下：
延長MO交AB于E，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BO=DO，∠ABC=∠DCB=90°，
∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，
∴△BEO≌△DMO，
∴OE=OM，BE=DM，
∵NO⊥EM，
∴NE=NM，
∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴NE²=BE²+BN²，NM²=CN²+CM²，
∴CN²+CM²=BE²+BN²，
即CN²+CM²=DM²+BN²．
故答案為：CN²+CM²=DM²+BN²．

點評：本題考查了圖形的旋轉變化，在解題過程中要綜合應用勾股定理、矩形、正方形的特殊性質及三角形全等的判定等知識．