Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點D是邊BC上（不與B，C重合）一動點，∠ADE＝∠B，DE交AC于點E．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）若△DCE為直角三角形，求BD．

（3）若以AE為直徑的圓與邊BC相切，求AD；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD＝8或；（3）5

【解析】

（1）證明∠ADB＝∠DEC，即可得出結論；

（2）過點A作AG⊥BC于G，分兩種情況討論，當∠AED＝90°時，當∠CDE＝90°時通過三角形相似即可求得；

（3）取AE的中點O，過O作OF⊥BC于F，設BD＝x，AE＝y，可分別表示OA和OC，由OF∥AG，得出，得出關于x的方程，解出x即可求出DG長，則AD長可求出．

（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠ADE＝∠B，

∴∠ADE＝∠C，

∵∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE，∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠CDE，

∴∠ADB＝∠DEC，

∵∠B＝∠C，

∴△ABD∽△DCE；

（2）解：如圖1，過點A作AG⊥BC于G，

∴CG＝BC＝8，

∴AG＝＝6，

設∠ADE＝∠B＝∠C＝α

∴cosα＝，

當∠AED＝90°時，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

又∵∠ADE＝∠B

∴∠ADE＝∠C，

∴△ADE∽△ACD，

∵∠AED＝90°，

∴∠ADC＝90°，

即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∴BD＝8．

當∠CDE＝90°時，由（1）知△CDE∽△BAD，

∵∠CDE＝90°，

∴∠BAD＝90°，

∵cosα＝．AB＝10，

∴cosB＝，

∴BD＝．

即：BD＝8或．

（3）解：如圖2，取AE的中點O，過O作OF⊥BC于F，

設BD＝x，AE＝y，

∴CD＝BC﹣BD＝16﹣x，CE＝AC﹣AE＝10﹣y，

由（1）知，△ABD∽△DCE，

∴，

∴，

∴，

∴OA＝，

∴OC＝AC﹣OA

＝10﹣

，

∵以AE為直徑的圓與邊BC相切，

∴OF＝OA＝，

∵AG⊥BC，OF⊥BC，

∴OF∥AG，

∴，

∴OCAG＝OFAC，

∴，

∴x＝8+或x＝8﹣，

∴DG＝，

在Rt△AGD中，根據勾股定理得，AD＝＝5．