Question

【題目】拼圖是一種研究代數恒等式的重要方法，所謂的拼圖指的是把所給的圖形以不同的方式拼成不同形狀的圖形，把圖形面積用不同的代數式表示，由于拼圖前后的面積相等，從而相應的代數式的值也相等，進而得到代數恒等式.

（1）智慧學習小組探索了用4個如圖1所示的全等的長方形（長、寬分別為a、b）拼成不同的圖形．在研究過程中，他們用這4個長方形拼成了一個如圖2所示的“回形”正方形．拼圖前后，請寫出該小組所用圖形（4個長方形）的面積的計算方法：拼圖前： ；拼圖后： ；因為拼圖前后的面積不變，所以可得代數恒等式： .

（2）利用（1）中得到的恒等式，解決下面的問題：已知求xy的值．

（3）超人學習小組受智慧學習小組的啟發，用4個如圖3所示的全等的直角三角形（三邊長分別為a、b、c）拼成了兩種“中空”的正方形.請你畫出這兩種圖形：

由上面的圖形可得代數恒等式： .

（4）利用（3）中得到的代數恒等式，解決下面的問題：在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8，求AC的長.

Answer 1

【答案】（1）4ab，(a+b)2 - (a-b)2，4ab = (a+b)2 - (a-b)2 ；

（2）；

（3）畫圖見解析，

（4）AC= 10

【解析】（1）通過觀察可以得大正方形邊長為a+b，小正方形邊長為a-b，利用大正方形面積減去小正方形面積即為陰影部分的面積，得出答案；（2）由（1）的結論變形后即可得出xy的值；（3）通過兩個組合正方形的面積之間相等的關系即可證明勾股定理；（4）根據勾股定理：在如何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方，即BC2=AC2+AB2，結合BC=10，AB=6，可求出另一條直角邊AC的長度.

解：（1）拼圖前：4ab

拼圖后：(a+b)2 - (a-b)2

觀察圖形得：

大正方形邊長為：a+b，

小正方形邊長為：a-b，

根據大正方形面積-小正方形面積=陰影部分面積得：

4ab=（a+b）2-（a-b）2.

可得代數恒等式： 4ab = (a+b)2 - (a-b)2

故答案為：4ab = (a+b)2 - (a-b)2.

“點睛”本題考查了完全平方公式的幾何背景，學生需要掌握完全平方公式和幾何圖形的關系即可，題目整體涉及很好，可以考查學生的觀察能力.

（2）由（1）可得，4ab = (a+b)2 - (a-b)2，

∴ 4xy = (x+y)2 - (x-y)2

∴

又∵ ，

∴ ，

∴.

（3）如圖所示，

解：選用（1）.

證明：∵S大正方形=c2

S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b-a）2，

∴c2=4×ab+（b-a）2-c2=a2+b2；

選用（2）：

證明：圖中把大正方形的面積分了四分部，分別是：邊長為a的正方形，邊長為b的正方形，還有兩個長為b，寬為a的長方形.

∵根據面積相等得：（a+b）2=c2+b2+4×ab，

由右圖可得（a+b）2=c2+4×ab，

∴a2+b2+4×ab=c2+4×ab，

∴a2+b2=c2.

（4）∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，

∴ ，

又∵ AB=6，BC=8，

∴ .

∴ AC= 10.

“點睛”本題考查利用圖形面積的關系證明勾股定理，解題關鍵是利用三角形和正方形邊長關系進行組合圖形.像這類直接考查定義的題目，解答的關鍵是熟練掌握勾股定理的定義及其在直角三角形中的表示形式.