Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A，B，交y軸于點C，點A的坐標是（﹣1，0），點C的坐標是（0，2）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）已知點P是拋物線的上的一個動點，點N在x軸上．

①若點P在x軸上方，且△APN是等腰直角三角形，求點N的坐標；

②若點P在x軸下方，且△ANP與△BOC相似，請直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）①y=﹣x2+x+2；②所求點N的坐標為N1（5，0），N2（6.5，0），N3（8，0），N4（44，0）．

【解析】

試題分析：（1）把A、C兩點的坐標代入函數解析式，即可得到關于b，c的方程組，從而求得b，c的值，求得函數的解析式；

（2）①首先由點P、A、B都在拋物線上，且A、B在x軸上，得出點A不可能是直角頂點，那么當△APN是等腰直角三角形時，∠PAN=45°．作∠BAP=45°，AP交拋物線于點P，設點P坐標是（t，﹣t2+t+2）．再分兩種情況進行討論：Ⅰ）當點N是直角頂點時，過點P作PN1⊥x軸于點N1，則PN1=AN1，依此列出方程﹣t2+t+2=t+1，解方程求出N1的坐標；Ⅱ）當點P是直角頂點時，過點P作PN2⊥AP，PN2交x軸于點N2，則AP=PN2，那么N1N2=AN1=2﹣（﹣1）=3，則ON2=2+3=5，N2的坐標可求；

②先由拋物線解析式求出B點坐標，根據△BOC是直角三角形，得出△ANP也是直角三角形，由A點不可能是直角頂點，得出直角頂點可能是P點或N點．設點P坐標是（t，﹣t2+t+2），則﹣t2+t+2＜0．再分兩種情況進行討論：Ⅰ）過A作BC的平行線，交拋物線于點P，則∠PAB=∠OBC．過P作PN1⊥x軸于點N1，則△AN1P∽△BOC，N1（t，0）．由△AN1P∽△BOC，根據相似三角形對應邊成比例求出t的值，得出點N1的坐標；過點P作PN2⊥AP，PN2交x軸于點N2，則△APN2∽△BOC．由△AN1P∽△PN1N2，根據相似三角形對應邊成比例求出t的值，得出點N2的坐標；Ⅱ）在x軸下方作∠BAP=∠OCB，交拋物線于點P，過P作PN3⊥x軸于點N3，則△AN3P∽△COB，N3（t，0）．由△AN3P∽△COB，根據相似三角形對應邊成比例求出t的值，得出點N3的坐標；過點P作PN4⊥AP，PN4交x軸于點N4，則△APN4∽△COB．由△AN3P∽△PN3N4，根據相似三角形對應邊成比例求出t的值，得出點N4的坐標．

解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c過點A（﹣1，0），C（0，2），

∴，解得，

∴該拋物線的解析式是：y=﹣x2+x+2；

（2）①∵點P、A、B都在拋物線上，且A、B在x軸上，

∴點A不可能是直角頂點，則∠PAN=45°．

如圖，作∠BAP=45°，AP交拋物線于點P．設點P坐標是（t，﹣t2+t+2）．

Ⅰ）當點N是直角頂點時，過點P作PN1⊥x軸于點N1，則PN1=AN1，

即﹣t2+t+2=t+1，

解得t1=2，t2=﹣1（不合題意舍去），

所以N1的坐標是（2，0）；

Ⅱ）當點P是直角頂點時，過點P作PN2⊥AP，PN2交x軸于點N2，則AP=PN2，

即N1N2=AN1=2﹣（﹣1）=3，

則ON2=2+3=5，

所以N2的坐標是（5，0）；

綜上所述，點N的坐標是（2，0）或（5，0）；

②∵y=﹣x2+x+2，

∴當y=0時，﹣x2+x+2=0，解得x=﹣1或4，

∵A（﹣1，0），

∴B（4，0），

∴△BOC中，OB=4，OC=2，∠BOC=90°．

∵△BOC是直角三角形，

∴當△ANP與△BOC相似時，△ANP也是直角三角形，

∵A點不可能是直角頂點，

∴直角頂點可能是P點或N點．

設點P坐標是（t，﹣t2+t+2），則﹣t2+t+2＜0．

Ⅰ）過A作BC的平行線，交拋物線于點P，則∠PAB=∠OBC．

過P作PN1⊥x軸于點N1，則△AN1P∽△BOC，N1（t，0）．

∵△AN1P∽△BOC，

∴=，

∴===2，

∴AN1=2N1P，即t+1=2（t2﹣t﹣2），

解得t1=5，t2=﹣1（不合題意舍去），

所以點P的坐標是（5，﹣3），點N1的坐標是（5，0）；

過點P作PN2⊥AP，PN2交x軸于點N2，則△APN2∽△BOC．

∵△AN1P∽△PN1N2，

∴=，

∴N1N2==1.5，

∴ON2=ON1+N1N2=5+1.5=6.5，

∴點N2的坐標是（6.5，0）；

Ⅱ）在x軸下方作∠BAP=∠OCB，交拋物線于點P，過P作PN3⊥x軸于點N3，則△AN3P∽△COB，N3（t，0）．

∵△AN3P∽△COB，

∴=，

∴===，

∴PN3=2AN3，即t2﹣t﹣2=2（t+1），

解得t1=8，t2=﹣1（不合題意舍去），

所以點P的坐標是（8，﹣18），點N3的坐標是（8，0）；

過點P作PN4⊥AP，PN4交x軸于點N4，則△APN4∽△COB．

∵△AN3P∽△PN3N4，

∴=，

∴N3N4==36，

∴ON4=ON3+N3N4=8+36=44，

∴點N4的坐標是（44，0）；

綜上所述，所求點N的坐標為N1（5，0），N2（6.5，0），N3（8，0），N4（44，0）．