Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點，EC平分∠DEB，F為CE的中點，連接AF，BF，過點E作EH∥BC分別交AF，CD于G，H兩點．

（1）求證：DE=DC；

（2）求證：AF⊥BF；

（3）當AFGF=28時，請直接寫出CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題（1）根據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到∠DCE=∠DEC，進而得出DE=DC；

（2）連接DF，根據等腰三角形的性質得出∠DFC=90°，再根據直角三角形斜邊上中線的性質得出BF=CF=EF=EC，再根據SAS判定△ABF≌△DCF，即可得出∠AFB=∠DFC=90°，據此可得AF⊥BF；

（3）根據等角的余角相等可得∠BAF=∠FEH，再根據公共角∠EFG=∠AFE，即可判定△EFG∽△AFE，進而得出EF2=AFGF=28，求得EF=，即可得到CE=2EF=．

試題解析：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠CEB，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠CEB，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC；

（2）如圖，連接DF，∵DE=DC，F為CE的中點，∴DF⊥EC，∴∠DFC=90°，在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，∴BF=CF=EF=EC，∴∠ABF=∠CEB，∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，在△ABF和△DCF中，∵BF=CF，∠ABF=∠DCF，AB=DC，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB=∠DFC=90°，∴AF⊥BF；

（3）CE=．理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，∵EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴，即EF2=AFGF，∵AFGF=28，∴EF=，∴CE=2EF=．