Question

【題目】如圖，在□ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠DPF的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）利用條件先證明四邊形ABEF是平行四邊形，然后再證明AB=BE即可；（2）延長BF，作DH⊥PH于H，在Rt△DFH中，求出FH,DH的長，在Rt△APF中，求出PF的長，從而在Rt△PDH中，利用三角函數的定義可求tan∠DPF的值.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠AEB

∵AE是角平分線，∴∠DAE=∠BAE．

∴∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

同理AB=AF．∴AF=BE．

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵AB=BE，∴四邊形ABEF是菱形．

（2）延長BF，作DH⊥PH于H，

∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，

∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，∠DFH=30°，

∵AD=6，AF=4，∴DF=2，

∵DH⊥PH，∠DFH=30°，

∴ ∴FH=，

∴DH=1，

∴在Rt△APF中,PF=AFcos30°=， PH=

∴tan∠DPF==．