Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點（DP＜CP），∠APB＝90°．M在AB上，且∠APM＝∠APD，過點B作BN∥MP交DC于點N．

（1）求證：四邊形PMBN是菱形；

（2）求證：ADBC＝DPPC；

（3）如圖2，連接AC，分別交PM，PB于點E，F，若DP＝1，AD＝2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）DP∥AB，所以∠DPA＝∠PAM，由題意可知：∠DPA＝∠APM，所以∠PAM＝∠APM，由于∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB，從而可知PM＝MB＝AM，又易證四邊形PMBN是平行四邊形，所以四邊形PMBN是菱形；

（2）根據余角的性質得到∠DAP＝∠BPC，根據相似三角形的性質即可得到結論；

（3）根據矩形的性質得到BC＝AD＝2，求得AB＝CD＝5，根據平行線的性質得到∠APD＝∠PAM，推出AM＝MP，得到AM＝MB＝，根據相似三角形的性質得到，求得，根據相似三角形的性質得到，得到，于是得到結論．

（1）證明：在矩形ABCD中，DC∥AB，

∵BN∥MP，

∴四邊形PMBN是平行四邊形，

∵∠APB＝90°，

∴∠APM+∠BPM＝90°，

∠APD+∠BPC＝90°，

∵∠APM＝∠APD，

∴∠BPM＝∠BPC，

∵DC∥AB，

∴∠BPC＝∠PBM，

∵∠BPM＝∠PBM

∴MP＝MB，

∴平行四邊形PMBN是菱形；

（2）證明：在矩形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，

∴∠APD+∠DAP＝90°，

∵∠APD+∠BPC＝90°，

∴∠DAP＝∠BPC，

∴△ADP∽△PCB，

∴，

∴ADBC＝DPPC；

（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝2，

由（2）得ADBC＝DPPC

∴PC＝4，

∴AB＝CD＝5，

在矩形ABCD中，DC∥AB，

∴∠APD＝∠PAM，

∵∠APM＝∠APD，

∴∠PAM＝∠APM，

∴AM＝MP，

由（1）得MP＝MB，

∴AM＝MB＝，

∵DC∥AB，

∴∠PCA＝∠CAB，

∵∠PFC＝∠BFA，

∴△PCF∽△BAF，

∴，

∴，

同理可得△PCE∽△MAE，

∴，

∴，

∴EF＝AC﹣CF﹣AE＝AC，

∴．