【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點M為正方形ABCD的邊CD上的動點(與點C，D不重合)，連接BM，作MF⊥BM，與正方形ABCD的外角∠ADE的平分線交于點F.設CM＝x，△DFM的面積為y，則y與x之間的函數關系式為________________．
【答案】y=-
【解析】
在BC上截取CH=CM，連接MH，則△MCH是等腰直角三角形，BH=MD，證出∠BHM=∠MDF，∠1=∠2，由ASA證明△BHM≌△MDF，再根據三角形面積公式求解即可．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠C=∠CDA=90°=∠ADE，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF=
∠ADE=45°，
∴∠MDF=90°+45°=135°．
在BC上截取CH=CM，連接MH，如圖，
則△MCH是等腰直角三角形，BH=MD，∴∠CHM=∠CMH=45°，
∴∠BHM=135°，
∴∠1+∠HMB=45°，∠BHM=∠MDF，
∵FM⊥BM，
∴∠FMB=90°，
∴∠2+∠BMH=45°，
∴∠1=∠2．
在△BHM與△MDF中，
，
∴△BHM≌△MDF（ASA），
∴BH=MD=2-x，
∴y與x之間的函數關系式為y=x（2-x）=-x2+x．
故答案為：y=-x2+x．
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【題目】如圖1，二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸的正半軸交于點C，頂點為D．
（1）求頂點D的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）若以AD為直徑的圓經過點C．
①求拋物線的函數關系式；
②如圖2，點E是y軸負半軸上一點，連接BE，將△OBE繞平面內某一點旋轉180°，得到△PMN（點P、M、N分別和點O、B、E對應），并且點M、N都在拋物線上，作MF⊥x軸于點F，若線段MF：BF＝1：2，求點M、N的坐標；
③點Q在拋物線的對稱軸上，以Q為圓心的圓過A、B兩點，并且和直線CD相切，如圖3，求點Q的坐標．
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【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊AD，BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G．
（1）猜想DG與CF的數量關系，并證明你的結論；
（2）過點H作MN∥CD，分別交AD，BC于點M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值．
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【題目】如圖，函數
的圖象過點
．
求該函數的解析式；
過點
分別向
軸和
軸作垂線，垂足為
和
，求四邊形
的面積；
求證：過此函數圖象上任意一點分別向軸和軸作垂線，這兩條垂線與兩坐標軸所圍成矩形的面積為定值．
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【題目】如圖①，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若點B，P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M.CN⊥直線a于點N，連接PM，PN.
(1)延長MP交CN于點E(如圖②)．
①求證：△BPM≌△CPE；
②求證：PM＝PN；
(2)若直線a繞點A旋轉到圖③的位置時，點B，P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM＝PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
(3)若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM＝PN還成立嗎？不必說明理由．
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【題目】在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一動點（不與點B，C重合），在AD右側作△ADE，使得AD=AE，∠DAE=∠BAC，聯結DE，CE。
（1）當點D在BC邊上時，求證：EC=DB；
（2）當EC∥AB，若△ABD的最小角為20°，請寫出ADB的度數，并對其中一個答案加以證明。
答：∠ADB的度數除了20°，還可能是 （直接寫出所有答案，并對其中一個答案加以證明）
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點 A，B的坐標分別為（0，3），（1，0），△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°．
（1）圖1中，點C的坐標為 ；
(2)如圖2，點D的坐標為（0，1），點E在射線CD上，過點B 作BF⊥BE交y軸于點F．
①當點E為線段CD的中點時，求點F的坐標；
②當點E在第二象限時，請直接寫出F點縱坐標y的取值范圍．
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