Question

【題目】如圖1，已知為正方形的中心，分別延長到點， 到點，使， ，連結，將△繞點逆時針旋轉角得到△（如圖2）．連結、．

（Ⅰ）探究與的數量關系，并給予證明；

（Ⅱ）當， 時，求：

①的度數；

②的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①30°②

【解析】(1)首先證明△AOE′≌△BOF′，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得；

（2）①延長OA到M，使AM=OA，則OM=OE′．易證△OME′是等邊三角形，據此∠AE′O的度數即可求得；②在直角△AOB中，利用三角函數即可求得OB的長，然后在直角△OBF′中利用三角函數求得BF′的長.

本題解析：如圖:

（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，

又∵OF=2OA，OE=2OD，

∴OE=OF，則OE′=OF′，

在△AOE′和△BOF′中，

∴△AOE′≌△BOF′

∴AE′=BF′；

（2）①延長OA到M，使AM=OA，則OM=OE′．

∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，

∴∠AOE′=90°﹣30°=60°，

∴△OME′是等邊三角形，

又∵AM=OA，

∴AE′⊥OM，

則∠E′AO=90°，

∴∠AOE′=90°﹣α=60°，

∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°；

②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°，

∴∠AOF′=30°，

又∵∠AOB=90°，

∴∠BOF′=60°，

又∵等腰直角△AOB中，OB=AB=，

∴在Rt△ABE'中得到AE'=OA=，

又BF'=AE'

∴BF′=．