Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣2），將B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= ，則拋物線解析式為y= （x+4）（x﹣2），即
（2）解：過M作MN⊥x軸，

將x=m代入拋物線得：y= m2+m﹣4，即M（m， m2+m﹣4），∴MN=| m2+m﹣4|=﹣ m2﹣m+4，ON=﹣m，∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB的面積為S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB= ×（4+m）×（﹣ m2﹣m+4）+ ×（﹣m）×（﹣ m2﹣m+4+4）﹣ ×4×4

=2（﹣ m2﹣m+4）﹣2m﹣8

=﹣m2﹣4m

=﹣（m+2）2+4

當m=﹣2時，S取得最大值，最大值為4．

【解析】（1）根據已知點的坐標特點，設函數解析式為交點式，利用待定系數法即可求出此函數解析式。
（2）過M作MN⊥x軸，設出點M的坐標，分別表示出MN、ON的長，再根據A、B兩點坐標求出OA、OB、AN的長，再根據△AMB的面積為S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB 建立函數解析式，求出其頂點坐標，即可求出S的最大值。