Question

如圖，已知在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊AB、CD上，且AE=2EB，CF=2FD，連接EF．
（1）寫出與

FC

相等的向量

AE

；
（2）填空

AD

+

EB

-

EF

=

AE

或

FC

；
（3）求作：

AD

-

FE

．（保留作圖痕跡，不要求寫作法，請說明哪個向量是所求作的向量）

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的對邊平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，然后求出FC=AE，再根據向量的定義解答；
（2）求出DF=BE，連接AF，根據向量的三角形法則可得

AD

+

EB

=

AF

，再根據-

EF

=

FE

，利用三角形法則求解即可；
（3）過點A作AG∥EF，取AG=EF，根據向量的三角形法則求解即可．

解答：解：（1）在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∵AE=2EB，CF=2FD，
∴AE=

2

1+2

AB=

2

3

AB，
CF=

2

1+2

CD=

2

3

CD，
∴與

FC

相等的向量是

AE

；

（2）如圖，連接AF，
∵DF=CD-FC=

1

3

CD，
BE=AB-AE=

1

3

AB，
∴

EB

=

DF

，
∴

AD

+

EB

=

AF

，
∵-

EF

=

FE

，
∴

AF

-

EF

=

AF

+

FE

=

AE

，
又∵

AE

=

FC

，
∴

AD

+

EB

-

EF

=

AE

（或

FC

）；
故答案為：（1）

AE

；（2）

AE

或

FC

；

（3）如圖，

GD

即為所求作的

AD

-

FE

．

點評：本題考查了平面向量，平行四邊形的性質，向量問題熟練掌握平行四邊形法則與三角形法則是解題的關鍵，要注意向量要從方向與大小兩個方面考慮求解．