Question

【題目】如圖，點C是以AB為直徑的圓O上一點，直線AC與過B點的切線相交于D，點E是BD的中點，直線CE交直線AB于點F．

（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若ED=3，EF=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連CB、OC，如圖，

∵BD為⊙O的切線，

∴DB⊥AB，

∴∠ABD=90°，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCD=90°，

∵E為BD的中點，

∴CE=BE，

∴∠BCE=∠CBE，

而∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，

∴OC⊥CF，

∴CF是⊙O的切線

（2）解：CE=BE=DE=3，

∵EF=5，

∴CF=CE+EF=8，

∵∠ABD=90°，

∴∠EBF=90°，

∵∠OCF=90°，

∴∠EBF=∠OCF，

∵∠F=∠F，

∴△EBF∽△OCF，

∴ ，

∴ ，

∴OC=6，

即⊙O的半徑為6．

【解析】已知圓的直徑，常添加輔助線是連接弦，構造圓周角是直角；要證某一直線是圓的切線，添加輔助線的方法是“連半徑，證垂直”或“作垂線，證半徑”。（1）連CB、OC根據直徑所對的圓周角是直角，得出∠ABD=∠BCD=90°，在Rt△BCD中，因為點E是BD的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出EC=BE，得到E∠BCE=∠CBE，于是就可以證得∠OCE=90°，根據切線的判定定理就可以得到CF是⊙O的切線；（2）由（1）的證明過程可知CE=BE=DE=3，而EF=5，可以得到CF=8，易證△EBF∽△OCF，從而求得圓的半徑長，。
【考點精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．