Question

【題目】如圖，直線y=kx+b（k、b為常數）分別與x軸、y軸交于點A（﹣4，0）、B（0，3），拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點C．
（Ⅰ）求直線y=kx+b的函數解析式；
（Ⅱ）若點P（x，y）是拋物線y=﹣x2+2x+1上的任意一點，設點P到直線AB的距離為d，求d關于x的函數解析式，并求d取最小值時點P的坐標；
（Ⅲ）若點E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE+EF的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得 ，解得 ，
∴直線解析式為y= x+3；
（Ⅱ）如圖1，過P作PH⊥AB于點H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點Q，

則∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，
∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，
∴△PQH∽△BOA，
∴ = = ，
設H（m， m+3），則PQ=x﹣m，HQ= m+3﹣（﹣x2+2x+1），
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，
∴ = = ，
整理消去m可得d= x2﹣x+ = （x﹣ ）2+ ，
∴d與x的函數關系式為d= （x﹣ ）2+ ，
∵ ＞0，
∴當x= 時，d有最小值，此時y=﹣（ ）2+2× +1= ，
∴當d取得最小值時P點坐標為（ ， ）；
（Ⅲ）如圖2，設C點關于拋物線對稱軸的對稱點為C′，由對稱的性質可得CE=C′E，

∴CE+EF=C′E+EF，
∴當F、E、C′三點一線且C′F與AB垂直時CE+EF最小，
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
由（Ⅱ）可知當x=2時，d= ×（2﹣ ）2+ = ，
即CE+EF的最小值為 ．
【解析】（Ⅰ）由A、B兩點的坐標，利用待定系數法可求得直線解析式；
（Ⅱ）過P作PH⊥AB于點H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點Q，則可證明△PHQ∽△BAO，設H（m， m+3），利用相似三角形的性質可得到d與x的函數關系式，再利用二次函數的性質可求得d取得最小值時的P點的坐標；
（Ⅲ）設C點關于拋物線對稱軸的對稱點為C′，由對稱的性質可得CE=C′E，則可知當F、E、C′三點一線且C′F與AB垂直時CE+EF最小，由C點坐標可確定出C′點的坐標，利用（Ⅱ）中所求函數關系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．